PID解释与离散化算法公式
一、PID解释
1、PID含义解释：P是Proportion，比例的意思，I是Integral，积分意思，D是Differential，微分的意思。
2、PID第一种通俗解释：以有一个水缸有点漏水(而且漏水的速度还不一定固定不变)，通过加水让水维持在要求水面高度的某个位置，一旦发现水面高度低于要求水面高度的某个位置，就要往水缸里加水的例子来说明PID含义。 如：小家伙接到任务后就一直守在水缸旁边，时间长就觉得无聊，就跑到房里看小说了，每20分钟来检查一次水面高度。因水漏得太快，每次小家伙来检查时，水都快漏完了，离要求的高度相差很远。于是小家伙改为每5分钟来检查一次，结果每次来水都没怎么漏，不需要加水，来得太频繁做的是无用功。几次试验后，确定每10分钟来检查一次。这个检查时间就称为采样周期，即T。为了让水面高度维持在某个位置，开始小家伙用瓢加水，水龙头离水缸有十几米的距离，经常要跑好几趟才加够水，于是小家伙又改为用桶加，一加就是一桶，跑的次数少了，加水的速度也快了，但好几次将缸给加溢出了，不小心弄湿了衣服几次，小家伙又动脑筋，我不用瓢也不用桶，就用盆，几次下来，发现刚刚好，不用跑太多次，也不会让水溢出。这个加水工具的大小就称为比例系数，即P。在加水过程中，小家伙又发现水虽然不会加过量溢出了，但是有时会高过要求位置比较多，还打湿了衣服。于是小家伙又想了个办法，在水缸上装一个漏斗，每次加水不直接倒进水缸，而是倒进漏斗让它慢慢加。这样溢出的问题解决了，但加水的速度又慢了，有时还赶不上漏水的速度。从而他试着变换不同大小口径的漏斗来控制加水的速度，最终找到了满意的漏斗。这个漏斗控制加水时间就称为积分时间，即I。经过几番折磨，小家伙终于喘了一口，但任务要求突然严了，水位控制的及时性要求大大提高，一旦水位过低，必须立即将水加到要求位置，而且不能高出太多，否则不给工钱。小家伙又为难了！于是小家伙又开努脑筋，终于让小家伙想到一个办法，放一盆备用水在旁边，一发现水位低了，不经过漏斗就是一盆水下去，这样及时性是保证了，但水位有时会高多了，小家伙可就恼啦。但方法总比困难多，小家伙在要求水位的水平面水缸处凿一孔，再接一根管子到下面的备用桶里，这样多出的水会从上面的孔里漏出来。这个水漏出的快慢就称为微分时间，即D。 虽然微分的比喻有点牵强，但能帮助理解就行了。举例中小家伙的试验是一步步独立做，但实际加水工具、漏斗口径、溢水孔的大小同时都会影响加水的速度。
3、PID第二种通俗解释：以有一个水缸里有些水，通过加水让水维持在要求水面高度的某个位置，一旦发现水面高度低于要求水面高度的某个位置，就要往水缸里加水的例子来说明PID含义。 如：假设我们需要把预期水面高度稳定在A平面，而实际要求水面高度在B平面，那么水面高度差值Err=A-B，这个时候我们需要往水缸里面加水，加水量就是Kp*Err，Kp就是我们的比例控制系数，即P。如果A>B，Err（水面高度差值）为正，就往水缸里面加水；如果A<B，Err（水面高度差值）为负，就从水缸里面舀水出来。那么只要预期水面高度和实际要求水面高度有差值，我们都会通过水桶去加减水来调整系统。这里也许有人会有疑问，如果这里把比例控制系数Kp直接设置成1，然后加水的量直接为Err=A-B不就可以了。然而实际上很多系统是做不到这点的。比如温度控制系统，实际温度为5度，我要通过加热把温度提升到30度，这里难道我们能一次性准确的给系统加30度？显然这是做不到的。那么比例控制的最终结果是让Err（水面高度差值）的值趋向于0。比例控制部分公式如下图：
在我们的比例控制的作用下，Err（水面高度差值）慢慢减小（假设一开始预期水面高度的水平面A大于实际要求水面高度的水平面B，也就是说Err（水面高度差值）是一个正值），由此可知Err（水面高度差值）是一条随时间变化且斜率小于0的曲线。那在一定周期内，Err（水面高度差值）越大，微分的绝对值越大，对Err的减小速度起到抑制作用，直到最后斜率为0微分才会停止抑制作用。微分部分公式如下图一及随着微分的影响，Err（水面高度差值）曲线的斜率最终趋向于0，如下图二：
比例控制只能尽量将Err（水面高度差值）调节到0，但是会存在这样那样的误差。而微分的作用是将曲线的斜率控制到0则停止对其抑制作用，但曲线的斜率为0的时候，Err（水面高度差值）并不一定为0。总的来说就是存在静差。怎样来消除静差的呢？使用积分（积分公式如下图二）来消除。我们都知道曲线的积分相当于曲线与x轴围出来的面积如下图一。积分作用的目就是使红色部分的面积和蓝色部分的面积的和为0，即使系统在比例控制部分和微分控制部分已经趋于稳定，只要Err（水面高度差值）不为0就会存在静差，只要存在静差积分就会对系统产生影响，直到系统的Err（水面高度差值）值为0。这样我们的PID控制在理论上就可以达到一个非常精确的控制效果。
二、PID离散化算法公式
1、PID离散化算法公式：分有位置式PID算法与增量式PID算法
2、位置式PID算法：假设采样时间间隔为T，则在k时刻：偏差为e(k)；积分为e(k)+e(k-1)+e(k-2)+…+e(0)；微分为(e(k)-e(k-1))/T，离散化后的公式如图一与从离散化后的公式分解后所得公式如图二。
由以上公式可知：比例系数：Kp，积分系数：Kp*T/Ti，可以用Ki表示；微分系数：Kp*Td/T，可以用Kd表示。则公式可以写成如下形式，这就是我们所说的位置式PID算法公式：
3、增量式PID算法：根据以上位置式PID算法公式推算增量式PID算法，可以求得如下形式：
由以上增量式PID算法公式分解可求得如下形式，这就是我们所说的增量式PID算法公式：
由以上增量式PID算法公式的分解式可知，由于我们需要通过计算系统的需求增量（即u（k），且只跟最近三次的偏差值有关
。）来调整系统稳定性，由此可得系统需求增量公式如下所示：
4、位置式PID算法与增量式PID算法优缺点：位置式PID是一种非递推式算法，可直接控制执行机构（如平衡小车），u(k)的值和执行机构的实际位置（如小车当前角度）是一一对应的，因此在执行机构不带积分部件的对象中可以很好应用等优点，但每次输出均与过去的状态有关，计算时要对e(k)进行累加，运算工作量大等缺点。增量式PID算法是一种递推式算法，误动作时影响小，必要时可用逻辑判断的方法去掉出错数据，手动/自动切换时冲击小，便于实现无扰动切换，当计算机故障时，仍能保持原值，算式中不需要累加，控制增量Δu(k)的确定仅与最近3次的采样值有关等优点，但积分截断效应大，有稳态误差，溢出的影响大，有的被控对象用增量式则不太好等缺点。