12.4月考部分习题解析

11、如图5，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（　　）

A．50°           B．60°            C．80°              D．90°

分析：本题部分同学的求解过程较繁，事实上由垂径定理可得弧AC=弧AD，则∠ADC=∠ABD，再由圆内接四边形性质定理易得∠ADC=∠GBC=50°，易求解得80°

解析：①②③均正确。本题难在第三个等式的证明，如何构造出DE²和BG²，并与a、b产生关联，这个需要学生对图形分析后的敏锐的洞察，要求能力较高。

23．如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD交于点F．

（1）连接CQ，证明：CQ=AP；

（2）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．

分析：本题难点在第二问探究两条线段的长度关系，学生很容易猜想到两条线段长度相等，但证明却不是一件易事。突破点在于构造转化，在图中构造出一条与EQ相等的线段。本题解析中所给即是一种构造方法，其中最后证PF=PG用到了四点共圆，圆周角定理的推论及等角对等边，学生很难想到。事实上，由于AC平分∠DAB，我们还可以考虑过点P向两边作垂线段（这是角平分线的基本作图），进一步证明三角形全等来解决。当然此题还有更多的解法，包括过P、Q作AD、BC的垂线，构造全等三角形直接证PF=QE等，同学们尽可以多做尝试，思路就是在尝试中打开的。考场上因为时间紧张而出现的思路堵塞问题亦是我们平时基本功不扎实，基本图形掌握不熟练的体现，切不可小视！

26．如图，已知A、B都在x轴上，以AB为直径的⊙M交y轴与C、D两点。若C为（0，4），圆心M的坐标为（3，0），

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）设（1）中所求抛物线的顶点为N，试判断直线CN与⊙M的位置关系，并证明你的结论；（3）在抛物线的对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，作PQ⊥x轴于点Q，且以PQ为直径的圆与y轴相切，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。

分析：本题第一问就有部分同学下不了笔，原因在于没有用好本题的大背景——既有抛物线又有圆，没有求出半径，自然A、B坐标不知，抛物线解析式更无从求解。第二问证明相切就是要证明垂直，即90°，此处运用勾股定理的逆定理易得，学生只要计算不出问题，本题不难。最后一问关键在于理解“以PQ为直径的圆与y轴相切”的含义以及如何运用这一条件。这个条件事实上就给出了P点横纵坐标的一种数量关系，而本身P又在抛物线上，故而可求。这里要注意的是题目条件给的P在对称轴右侧，所以由方程所得的结果要有取舍。同时，由方程解得的是P点的横坐标，但是P点纵坐标的求解直接带入抛物线解析式计算却格外复杂，同学们一定要学会灵活地运用题目所给条件，PQ长度是P点横坐标2倍这一关系，直接就可以得到纵坐标，省去了繁杂的计算。