古人数学智慧——《孙子算经》物不知数（中国剩余定理）

中国古代著名算题。原载《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何?”当时虽已有了答案23，但它的系统解法是秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的。大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题。

用通俗的话来说，题目的意思就是：

有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个？

（注：诗题及题目原文都无“至少”二字，但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题，否则就会有无数多个答案。所以，解释题目意思时，在语句中加上了“至少”二字。）

《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是：

“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。”“答曰：二十三。”

明代著名的大数学家程大位，在他所著的《算法统宗》中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰《孙子歌》：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝；

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

歌中的“廿”，读音与“念”音相同。“廿”即二十的意思。

歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法：

“三（3）人同行七十（70）稀”——是说除以3所得的余数，要用“70”去乘它；

“五（5）树梅花廿一（21）枝”——是说除以5所得的余数，要用“21”去乘它；

“七（7）子团圆正半月（15）”——“半月”是一个月30天的一半，即15日，这是说，除以 7所得的余数，要用“ 15”去乘它；

“除百零五（105）便得知”——这是说要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数。这也就是《孙子算经》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）减之”。这样得出的差，便是所要求的这个最小的未知数了。

用现代的方法可以将这个数X分成三个数a、b、c的和。a满足被3整除余2，并能同时被5、7整除；b满足被5除余3，并能同时被3、7整除；c满足被7除余2，并能同时被3、5整除。

（5*7）÷3=11……2，a可以是5*7=35.

（3*7）÷5=4……1，由于b满足余数是3，所以（3*7）*3=63=b。

（3*5）÷7=2……1，由于c满足除以7余2，所以（3*5）*2=30=c

于是，由X=a b c=35 63 30=128，得到的128就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。最小的需要减去n个最小公倍数[3,5,7]==105.也就是128-105=23

练习：有一类数，除以7余2，除以8余4，除以9余3，问这类数中最小的正整数是多少？