黄金分割:毕达哥拉斯如何连接数学和美学?

我们对毕达哥拉斯的了解，除了勾股定理，还有就是黄金分割。现在我们从黄金分割出发，进一步理解数学的用途。这个用途不仅仅是在思维方面，也能实实在在指导我们的工作。先看一张照片，感受一下黄金分割

这是雅典的帕特农神庙，它无论是在艺术史上，还是建筑史上的地位都很高，你如果度量一下它正面的宽与高，正好符合我们所说的黄金分割。

黄金分割的比例大约是1：0.618，也就是1.618。

帕特农神庙的本身，著名的雕塑《断臂维纳斯》都符合黄金分割。

那么黄金分割是如何确定的呢，这个比例看起来为什么顺眼呢？简单地讲，它的美感来自几何图形的相似性。

比如我画了一个符合黄金分割的长方形，长度X宽度为Y,如果我们用剪刀从中间剪掉一个边长为Y的正方形，剩下来的长方形依然符合黄金分割。

黄金分割为什么漂亮，除了在几何上层层相似之外，它也反映了自然界的物理学特例。

如果我们把刚才图中的长方形不断做切割，然后将每个切掉的正方形的边用圆弧替代，就得到了一个螺旋线。由于这个螺旋线每转动同样的角度，得到的圆弧是等比例的，因此它被称为等角螺线。

或许是因为黄金分割反映了宇宙本身的一个常数，我们对他才特别有亲切感，哪个建筑或者画作有意无意满足了这个条件，它就显得特别美。

埃菲尔铁塔等建筑的主要尺寸的比例，也正好符合黄金分割，甚至符合等角螺线。

类似的，《蒙娜丽莎》的主要结构部分也可以对应一条等角螺旋线。需要说明的是，无论是帕特农神庙的设计者，还是达·芬奇或者埃菲尔，他们都知道黄金分割，并且刻意使用了这个比例。

最先提出黄金分割的人是谁呢？古埃及人似乎早在4500前就知道了这个比例的存在，因为大金字塔从任何一个面看上去，其中切面的斜边长和金字塔高度之比正好是黄金分割的比例。没有证据表明他们算出了精确的比例公式，因为他们不知道有无理数的存在。

据说，毕达哥拉斯听到一个铁匠打铁的和谐动听的声音后，研究出了黄金分割。这种说法缺乏依据。

认可的说法是，毕达哥拉斯学派的人在做正五边形和五角星的图形时，发现了黄金分割的比例。在正五角星中，每一个等腰三角形的斜边和底边的比例都是黄金分割1.618。

数学对建筑和绘画艺术产生了重大的影响。

19世纪浪漫主义时期的西方油画你会惊叹于它们的逼真。这个逼真的效果从哪里来?它源于艺术家使用单点透视的方法，成功地将三维形象绘制到一个二维平面上。

布鲁内莱斯基发明的单点透视法完全符合我们视觉应有的几何学原理。具体讲就是三角形的原理。

简单介绍一下单点透视法。

假定我们前方100米和500米处各有一颗大树，它们都是50米高。我们知道近处的树在我们的眼睛里显得高，远处的显得小。那么看起来，它们的比例到底应该是几比几呢？

简单地讲，就是应该和距离成反比，即100米处50米高的树，放到500米处，应该显得只有5米高。如果放到无穷远处，则应该是0米高，也就是地平线上的一个点。对于其他的距离，我们看到的高度也是同样和距离成反比。这样，如果我们把各个距离之处50米高的大树连成一条线，就是我们得到的透视的视觉效果了

注：权力的游戏 北爱尔兰外景地

理解了我们的视觉的数学原理，就可以利用它创造出不同的艺术效果。比如在现实世界里，我们看到的是单点透视。因为人的眼睛不可能同时往两边看，但是我们可以在艺术创作中采用两点和多点透视。

下图是两点透视的效果图，景物消失在一左一右两个点上。我们通常目光只能集中一个方面，看不了那么广的视角，但是你如果用鱼眼镜头拍照，就能拍出这样的效果。