瘟疫中的科学巨人 ——漫话微积分的发展，兼议数学之美（二）
李文林老师受北京林业大学数学社邀请，为同学们开展了一场精彩的数学科普讲座。本文系讲座记录稿，整理发布以供大家学习参考。数学经纬网经授权发布。
主讲人简介
李文林
中科院数学与系统科学研究院研究员，我国著名的数学史专家，曾任数学研究所副所长、全国数学史学会理事长。李文林老师长期研究数学史，曾发表过大量关于数学史的研究论文，著有《数学史概论》等重要学术著作，为我国数学史的研究作出了重大贡献。
数学之美
讲座提问
英国哲学家、数学家罗素说过的一句话，“数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美——一种冷峻严肃的美，就像是一尊雕塑。并且这种美能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界”。
李文林老师说：数学的美是抽象之美，简洁之美，统一之美，和谐之美，“数与形的美妙的和谐”，“逻辑形式与结构的完美”。首先从微积分开始，来揭示数学的这种内在之美。这需要先简要了解一下微积分发明的背景。
在文艺复兴以来引起的资本主义生产力的发展过程中，对科学提出了一系列的问题，其中包括航海贸易、扩张战争等方面提出的问题。例如在天文方面，如果你要航海，在茫茫大海中能指引你方向的只有天上的星星，这就需要研究星星运动的的规律。当时德国天文学家开普勒通过观察总结出行星运动定律，如何验证开普勒的定律呢？另外你要观察星星，就要用望远镜。望远镜用的是透镜。透镜表面是一个曲面，如何打磨，需要知道它的曲线、法线方向，这是微积分的基本问题之一。再如战争中炮弹的射程问题，实质是确定极大极小值的问题，等等。
当数学史家将当时提出的科学问题归纳成四大类：第一类是瞬时速度问题，第二类是切线问题，第三类是函数极大极小值问题，第四类是面积、体积、重心、引力计算问题。可以说在17 世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，并且在相当短的时期内，取得了迅速的进展。经过半个世纪的酝酿，这里面有开普勒旋转体体积（1615年）、卡瓦列里《不可分量原理》（1635年）、笛卡儿“圆法”（1637年）、费马求极大值、极小值的方法、巴罗“微分三角形”（1669年）、沃利斯《无穷算术》（1655年）等等。17世纪上半叶一系列前驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近。但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。这些前驱者对于求解各类微积分问题确实作出了宝贵贡献，但他们的方法仍然缺乏足够的一般性，求切线，求变化率、求极大极小值以及求面积、体积等基本问题，在当时是被作为不同的类型处理的。虽然也有人注意到了某些联系，然而并没有人能将这些联系作为一般规律明确提出。而作为微积分的主要特征的微分与积分的互逆关系，虽然在特殊场合已被某些学者邂逅，但他们完全没有认识到这一事实的重要意义。
因此，就需要有人站在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论。 时势造英雄，时代需要巨人，牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场。完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。他们不仅将求切线，求速度、求极大极小值等的方法统一为一种算法──微分法，将求面积，体积，重心，引力等的方法统一成一种算法──积分法，而且又通过微积分基本定理揭示了这两种算法的互逆关系，从而可以看成是一种算法。也就是说，他们将半个多世纪数学家们发现的五花八门、纷繁杂乱的方法综合成为统一的微积分理论，正是在这个意义上，我们说牛顿和莱布尼茨发明了微积分。微积分工作并非一两个人的贡献，前面经过半个世纪的积累。
了解了微积分发明的历史，也就能明白微积分基本定理是高度统一的、简洁的、优美的，极好地显示了数学的内在之美。显示数学的内在之美还有其他许多例子，比如数学的“五朵金花”——0、1、i、π、e被欧拉公式就统一起来了。
那么，数学的这种内在的美似乎只有研究数学的人才能欣赏了？其实不然！数学的抽象的内在的美，恰恰可通过艺术作品得以物化和外化。几千年来，一些抽象的数学概念，始终是艺术创作永不枯竭的美的源泉。正是那种以简洁与形式完美为目标的追求，使数学具有了与艺术相通的特质，从而使数学能为人类艺术发展提供美的源泉。
首先来看建筑，这座桥在剑桥叫做数学桥，也叫牛顿桥（桥不是牛顿造的）。牛顿死后的建筑师造的，为了纪念牛顿，就命名为牛顿桥，但是通常人们叫它数学桥。这座桥的桥拱看上去是圆，但并不是圆，这是所有的横梁在一起给你视觉上的感觉。每一根横梁实际上是一个虚的圆的切线。这是求曲线的最基本微积分问题。据说这座桥当时没有钉子，全是榫，后来人们把它拆了，重新再装，装不上了才用了钉子。（这张图是82年李文林老师在剑桥留学自己照的，李文林老师的朋友们都说这个桥挺美的。）这是从微积分基本的求切线问题来谈数学的美。
牛顿桥
再复杂一点的有微分几何、极小曲面，涉及更复杂的微积分问题。慕尼黑奥林匹克体育场就是一个应用极小曲面的建筑例子。微积分用到建筑上能让人产生一种美感啊！
慕尼黑奥林匹克体育场
音乐最早就和数学有关系。希腊人毕达哥拉斯发现弦的长度只有满足一定的比例，才好听，这叫和弦或者和声。如果比例不搭的话，那它弹出来的声音就不对。傅里叶和贝多芬是同时代的，他也研究音乐。傅里叶分析最早是一种音乐的频谱分析。一根弦振动，发出声音，用一个正弦函数来表达，它的振幅决定音量，频率决定音调，曲线形状决定音色。傅里叶说所有要成为音乐的乐音都是正弦函数的叠加，而且每两个函数之间的频率是成倍数关系的，只有这种情况下你发出来的振动才和谐，否则就不好听。这样就指导人们创造出更多和谐动听的音乐。这是听觉上的美。
和谐的音乐
再回到视觉艺术。在绘画方面，根据特定的微分方程或无穷级数进行艺术加工可得到精美的艺术作品。下面来欣赏三幅图。第一幅图由常微分方程的解形成一个曲面，进行色彩加工，就得到这样一幅画。第二幅画由积分方程得到，第三幅是一个无穷级数经过艺术加工得到的画，像一条华丽精美的手链或项链！中国科学院数学与系统科学研究院的走廊里就挂有这样一些艺术作品。
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视觉艺术（三图）
除了微积分之外，通过一些简单的数学也可以得到精美的艺术作品。最简单的就是对称，但对称是古今艺术的重要元素。下图左图为敦煌壁画，是中心对称的图案；右图是一幅现代的作品，荷兰画家埃舍尔的作品，这也是应用了对称，还涉及非欧几何、群论等现代的知识。
荷兰埃舍尔的作品
下面我们来看两幅油画。一幅是中世纪的油画（左图），也有颜色，但是远近分不出来的，看上去跟小孩子画的差不多。但文艺复兴时期的油画（右图）就不一样了，远近分明，立体感十足，为什么呢？这中间发生了什么？数学！数学进入了绘画，具体说来就是透视学。透视学不用说数学的分支，相信在座许多工科学生也要学，而这个数学分支完全是文艺复兴时期应绘画艺术的需要而诞生的。文艺复兴时期的画家们运用透视学创作出一幅又一幅名画。
透视油画的美
黄金分割在绘画中也意义非凡。有一个画家叫蒙特里安，他说，在每一幅油画中都能找到黄金分割。比如，在法国印象派画家休拉（G·Seurat）油画《阿尼爱尔沐浴》（1883年）中的就能找到三个黄金矩形。蒙特里安本人的格子画更是大量运用黄金分割。
黄金分割图画
在现代，数学应用于艺术，给人冲击最大的就是分形几何。分形几何是上世纪八十年代才问世的很年轻的数学分支，它原本是数学家们为描述不规则自然现象（海岸线、气流、洋流、生物群落、……）而创造的数学工具。在计算机上产生出来的千变万化、美妙神奇的分形图案，正在给人们带来高度的现代艺术享受，并且已被看作是一种新的艺术形式。最简单的分形曲线——雪花曲线。这个曲线的特点是，它在一个框框里面积肯定是有限的，但周长是无限的。为什么？它的“拐弯”太多了。它没有导数，但也给你一种美感。它的维度是多少呢？如果将正常的一维、二维的概念进行推广，会发现它的维度是非整数（大概是1.2618），它是一个分数，所以叫分形——分数维的图形。
雪花曲线
通过复函数迭代能得到蒙德布罗依集。一个简单的带常数项的二次复函数，对于自变量的每一个值（相当于复平面上一个点），经过函数的作用会得到另一个点，这样可以无限迭代，产生无穷多个点。把这些点看成一个图形，再进行色彩的加工，就能产生复杂的图形。常数不一样，出来的图形也就不一样。蒙德布罗依是美籍法裔数学家，他最早研究分形。分形图形的一个基本特性是自相似，局部和整体相似，无论取多么小的局部。
蒙德布罗依集
最后要指出的是，抽象的数学概念与理论也提供刻画自然美的工具，从而显示了数学内在之美与自然之美的统一。比如，在林业方面。树叶的形状，具有自相似性质，也是一种分形，当然这是近似的说法。还有植物群落，也可以用数学、用分形来研究。
自然界的分形
最后，李文林老师衷心寄语：学好数学，欣赏数学的美，用数学去创造美，将数学运用于各行各业，为人类创造各种美！
好啦，看到最后——静静地来为数学之美赞叹吧！
来源：数学经纬网