三角形（三十一）

作为相似三角形第一个应用，我觉得还是先来讲讲角平分线定理。

已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线。求证：AB/AC=BD/DC。

这个题目很简单，但是里面的技巧很有用。

相似的核心就是两类问题：线段的比例和角相等。抓住了这个，就抓住了相似的实质。本题中我们要求证的目标是比例，所以很自然地想到要用相似三角形的办法。

图中一共三个三角形，其中哪两个看起来会相似呢？

很遗憾，一组都没有。

这意味着什么？

加辅助线。

下一个问题：怎么加？

既然没有相似，我们肯定要构造相似出来。怎么构造？

想一想我们辅助线的十个字：取中作平连对角延一倍，此时应该用哪个比较合适？

没有中点，不是四边形，没有中线，似乎只剩下作平了。那么过哪个点作哪条线的平行线呢？

由于AD是角平分线，所以我们希望把∠BAD=∠CAD给用起来，因此作一条平行线能和这两个角其中一个相等，以此为跳板是一种看起来比较靠谱的尝试。

我们过C作CE∥AB，交AD的延长线于E。由于∠E=∠BAD，并且∠ADB=∠EDC，所以△ABD相似于△ECD。注意！相似三角形的书写规范和全等的情况一样，必须注意对应两个字！在相同位置上的字母所代表的角一定相等，记住这条就抓住了对应二字。

等等，贼老师，我们讲全等的时候还有线段的对应关系。如果两个三角形全等，那么任意对应位置的两个字母所代表的线段是相等的，这个放在相似三角形中会怎么样呢？

那就是对应的线段互相成比例咯！

比如△ABC和△DEF相似，那么只要相同位置的线段取出来，比如AB就要对应DE，AC就要对应DF，于是我们有AB/AC=DE/DF，或者AB/DE=AC/DF，或者AC/AB=DF/DE，只要注意好对应，那么有一系列的比例相等。

既然两个三角形相似，我们可以得到BD/DC=AB/CE，此时离我们最后的目标只一步之遥：我们只要证明AC=CE即可。

很显然，由于∠E=∠BAD=∠CAD，于是AC=CE，我们就完成了角平分线定理的证明——这是相似三角形中一个非常重要的定理。

从今往后，再碰到有角平分线的条件，我们除了有角度的数量关系，还有线段的成比例关系。但是对于学生来说，这未必是什么好事。性质越多，选择就越困难。初中阶段平面几何和代数学习的最大区别在于：代数题目考察的知识点是比较直观的，而平面几何题目越到后面性质越多，患上选择恐惧症简直成了必然。比如说，在没有学到角平分线和比例相关的性质时，涉及角平分线相关 的线段证明，我们往往会考虑“角平分线上任意一点到角的两边距离相等” 这条性质，但现在除了这个选择，你还可以采用比例关系转化……这就是几何越学越难的原因。

代数的难在于综合，几何的难在于选择。