第十一课：《秒杀反比例压轴》中考数学知识点讲解—反比例三角形规律
前言 PREFACE
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原理证明：
若反比例函数A1一点，做等腰三角形OA1B1,依次做相似等腰三角形，则OBn=√n OB1
可设A1坐标，通过等腰三角形三线合一表示A2建立等量关系，求出OB之间的关系。
典型例题：
1.（2013·泸州）如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数y=1/x（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是 （√3+√2，√3-√2；点Pn的坐标是 （√n±√(n-1)，√n-√(n-1)（用含n的式子表示）．
【分析】
过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，根据△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标．
【解答】
解：过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，
∵△P1OA1是等腰直角三角形，
∴P1E＝OE＝A1E＝1/2OA1，
设点P1的坐标为（a，a），（a＞0），
将点P1（a，a）代入y＝1/x，可得a＝1，
故点P1的坐标为（1，1），
则OA1＝2，
设点P2的坐标为（b+2，b），将点P2（b+2，b）代入y＝1/x，可得b＝√2﹣1，
故点P2的坐标为（√2+1，√2﹣1），
则A1F＝A2F＝√2﹣1，OA2＝OA1+A1A2＝2√2，
设点P3的坐标为（c+2√2，c），将点P3（c+2√2，c）代入y＝1/x，可得c＝√3-√2，
故点P3的坐标为（√3+√2，√3-√2），
综上可得：P1的坐标为（1，1），P2的坐标为（√2+1，√2﹣1），P3的坐标为（√3+√2，√3﹣√2），
总结规律可得：Pn坐标为：（√n+√(n-1)，√n-√(n-1)．
故答案为：（√3+√2，√3-√2），（（√n+√(n-1)，√n-√(n-1)）．
【点评】
本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律，难度较大．
同步练习：
1．（2019·淄博）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝4/x（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（ ）
A．2√10 B．6 C．4√2 D．2√7
【分析】
根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
【解答】
解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
则∠OD1C1＝∠OD2C2＝∠OD3C3＝90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1＝45°，
∴∠OC1D1＝45°，
∴OD1＝C1D1，
其斜边的中点C1在反比例函数y＝4/x，∴C（2，2），即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
∴OA1＝2OD1＝4，
设A1D2＝a，则C2D2＝a此时C2（4+a，a），代入y＝4/x得：a（4+a）＝4，
解得：a＝2√2-2，即：y2＝2√2-2，
同理：y3＝2√3-2√2，
y4＝2√4-2√3，
……
∴y1+y2+…+y10＝2+2√2-2+2√3-2√2+……2√10-2√9=2√10，
故选：A．
【点评】
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
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