第七课：《秒杀反比例压轴》中考数学知识点讲解—反比例与直线相交
前言 PREFACE
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原理证明：
如图：若直线FG与矩形交于DE两点，与坐标轴交于F，E点。则DF=EG，EF=DG
变式：若直线AD交反比例与A，D两点，与坐标轴交B，C两点，则AB=DC
典型例题：
1．（2017·济南）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A（2，1），反比例函数y＝k/x（x＞0）的图象经过的B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；
（3）如图3，将线段OA延长交y＝k/x（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点B的坐标即可解决问题；
（2）根据两直线垂直的条件，求出直线MN的解析式即可解决问题；
（3）结论：BF＝DE．如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON＝n，OM＝m，ME＝a．则BN＝k/n，DM＝k/m．由△EDM∽△EBN，推出EM/EN=DM/BN,即a/(m+a-n)=(k/m)/(k/n)，可得a＝n，由△KNO≌△DEM，推出DE＝KN，再证明四边形NKFB是平行四边形，即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝3，
∵A（2，1），
∴B（2，4），
把B（2，4）代入y＝k/x中，得到k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝8/x．
（2）如图2中，设K是OB的中点，则K（1，2）．
∵直线OB的解析式为y＝2x，
∴直线MN的解析式为y＝﹣1/2x+5/2，
∴N（0，5/2），
∴ON＝5/2．
（3）结论：BF＝DE．理由如下：
如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON＝n，OM＝m，ME＝a．则BN＝k/n，DM＝k/m．
∵△EDM∽△EBN，
∴EM/EN=DM/BN，
∴a/(m+a-n)=(k/m)/(k/n),可得a＝n，
∵NK∥EF，
∴∠KNO＝∠DEM，∠KON＝∠DME＝90°，ON＝EM，
∴△KNO≌△DEM，
∴DE＝KN，
∵FK∥BN，NK∥FB，
∴四边形NKFB是平行四边形，
∴NK＝BF，
∴BF＝DE．
【点评】本题考查一次函数，反比例函数、平行四边形，全等三角形，相似三角形等几何知识结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的能力．
同步练习：
（2016·孝感）如图，已知双曲线y＝k/x与直线y＝﹣x+6相交于A，B两点，过点A作x轴的垂线与过点B作y轴的垂线相交于点C，若△ABC的面积为8，则k的值为 5．
【分析】根据双曲线和直线的解析式，求出点A、B的坐标，继而求出AC、BC的长度，然后根据△ABC的面积为8，代入求解k值．
【解答】解法一：
解： y=k/x y=-x+6
解得：x1=3-√(9-k) y1=3+√(9-k)
x2=3+√(9-k) y2=3-√(9-k)
即点A的坐标为（3-√(9-k)，3+√(9-k)，
点B的坐标为（3+√(9-k)，3-√(9-k)），
则AC＝2√(9-k)，BC＝2√(9-k)
∵S△ABC＝8，
∴1/2AC·BC＝8，
即2（9﹣k）＝8，
解得：k＝5．
解法二：
解：设点A（x1，6﹣x1），B（x2，6﹣x2）
∵双曲线y＝k/x与直线y＝﹣x+6相交于A，B两点，
∴方程k/x﹣（﹣x+6）＝0有解，
即：x²﹣6x+k＝0有2个不相同的实根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k，
∵AC⊥BC
∴C点坐标为（x1，6﹣x2）
∴AC＝x2﹣x1BC＝x2﹣x1
∵S△ABC＝8，
∴1/2AC·BC＝8
∴1/2（x2﹣x1）²＝8
整理得：（x1+x2）²﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4k＝16
解得k＝5，
故答案为：5．
解法三：根据对称性设A（a，b），B（b，a），
由题意：S△ABC＝1/2（a﹣b）²＝8，
∴a﹣b＝﹣4．
又∵a+b＝6，
∴a＝1，b＝5，
∴k＝5．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是把两个函数关系式联立成方程组求出交点，然后根据三角形的面积公式求解．
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