2020阿根廷数学奥林匹克 中文翻译

第一天

1.对任意正整数, 设 表示 的各位数字之和. 试找出一个-位的正整数,使得整除,且整除.

2.给定 为正整数. 求最小的正整数,使得可以将一个的网格表中的若干个单元格染成黑色, 使得每行和每列都恰有k个黑色单元格, 且任意两个黑色单元格不相邻.(这里的相邻指有公共顶点或公共边).

3.等腰直角中, 为直角.在AB上取点E,在AC上取点F, 使得,, CE与BF交于点P,直线AP与BC交于D. 求

第二天

4.已知 为正整数,且 为整数. 证明 不为素数.

5.已知 为的一个排列.求...的最大值.

注意: 中除最后一项外的每一项均为3个数的乘积.

6.设为整数. 卢卡斯与马蒂亚斯在一个正n边形上玩游戏, 规则如下: 正n边形上有一个顶点被设计为"陷阱". 首先, 马蒂亚斯将一枚棋子放置在正n边形的任意一个顶点上. 随后, 在每一步中, 卢卡斯说出一个正整数k, 随后马蒂亚斯将棋子移动k个顶点,但他自己可以决定顺时针还是逆时针移动.
(1)求所有的正整数,使得马蒂亚斯可以确定一个策略,从而无论卢卡斯怎么指挥, 马蒂亚斯都可以确保棋子不会掉进陷阱里面.
(2)求所有的正整数,使得卢卡斯可以确定一个策略,从而无论马蒂亚斯怎么选择方向, 卢卡斯都可以确保棋子在若干步之后,一定会掉进陷阱里面.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。