数学概念课教学的原则、路径及措施
张晓斌
概念是思维的细胞，是数学的出发点，数学概念是进行推理、判断、证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想与方法的源泉。因此，数学概念教学在数学教学中有着十分重要的地位，是数学教学的核心内容。数学概念教学主要又是数学概念课的教学。本文就数学概念课教学的基本原则、路径及实施措施，谈一些不成熟的看法，供同行参考。
一、数学概念课教学的基本原则
1.遵循认知规律
科学是有规律的，数学科学知识是按照一定规律发展的，人们认识与把握数学知识也是遵循一定规律的，因此，在数学概念教学中必须坚持由浅入深、由特殊到一般、由形象到抽象、由具体到理性、由表及里等规律进行教学，必须符合学生的年龄特征、数学基础和认识规律，必须把学生的认知基础和规律与数学科学发展规律相匹配，具有逻辑连贯一致性。
例如“函数单调性”概念的教学，我们必须在学生初中学习的基础上，首先给出3～4个具体的特殊函数图象让学生观察，形象直观发现这些函数的图象在其函数的定义域内有些部分y随x的增大而增大，有些部分y随x的增大而减小；这种描述性语言叙述能否用来判断或证明一个函数的增减性？这些图象特征能否用数量关系来刻画？能取一些特殊值来刻画吗？选择几个变量恰当呢？又用什么关系来刻画？教师逐步引导学生发现选择两个变量x1，x2恰当，而且这两个变量x1，x2是函数定义域的子区间内任意取值，同时满足若x1<>f（x2）），这样就可以抽象概括出函数单调性概念的定义。进而教师引导学生从定义中辨析出：函数单调性概念具有局部性、任意性和同区间性。
这一教学过程就是符号化、抽象化和一般化的关键过程，也是初中函数增减性与高中函数单调性的重要差异之处，如果处理好了就为学生深刻理解、掌握与运用函数的单调性概念奠定了坚实的基础。
2.注重形成过程
“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。”[1]不同数学概念的产生与发展有不同的途径，因此，数学概念教学中要特别注重概念的发生发展过程的教学，创设合适的问题情境，努力让学生经历过程，从中获得体验并领悟数学思想与方法，去伪存真，提炼表达数学概念。例如上述“函数单调性”概念的教学，首先给出几个具体的数学问题情境，让学生经历从具体感知到抽象概括的过程，最后获得函数单调性的定义。当然，有时还可以创设生活问题情境、历史问题情境、学科问题情境和动手操作问题情境来引入数学概念，但一定要根据数学概念发生发展途径的不同来创设恰当的问题情境引入，这样才有利于学生揭示数学概念的本质属性。
3.突出数学本质
数学概念的定义方式是多种多样的，一般中学数学概念常用的几种定义方式有：属概念加种差的定义方式；发生定义方式；揭示外延的定义方式；用描述语言下定义等。但不论哪种定义方式，我们都应该在数学教学中抓住数学概念的本质属性，注意揭示数学概念的内涵和外延，突出数学概念本质的教学。由于原始概念有些是不下定义的，有些只是用揭示外延或用描述法给出定义，因此教学中常常通过大量具体例子让学生从中体会感悟。除原始概念外，其他数学概念的教学，我们就要注重其數学本质属性的挖掘与提炼。
4.培育核心素养
数学概念教学不但让学生提出、理解、掌握和应用数学概念，更为重要的是能让学生从中领悟数学思想与方法以及培养学生发现与提出、分析与解决问题的能力，特别是训练与发展学生的思维能力，最终指向培育和发展学生的数学核心素养。因此，必须要让学生经历数学概念教学的全过程，把数学概念纳入数学概念发展的系统中，明确认识各数学概念间的关系，了解各个数学概念在抽象、推理、运算、证明和建模中的指导作用。
5.浸润数学文化
数学概念教学不但要情境化、数学化，更为重要的是要从数学文化的角度审视数学概念教学，提升数学概念教学的品味，让数学概念教学具有情境味、数学味、文化味和艺术味，最终实现数学育人的目标。
例如“随机事件的概率”的教学，通过让学生分组抛掷硬币实验，寻找硬币正面向上的频率的规律，由于课堂教学时间有限和人民币硬币质地不够均匀，会导致硬币正面向上的频率的规律不明显，学生不易观察体验频率的变化规律，因此，我们必须通过计算机模拟抛掷硬币实验，让学生亲身发现并确信随着实验次数的不断增加，硬币正面向上的频率会在某个常数附近摆动而逐渐稳定，从而引出随机事件概率的定义。同时，我们可以不失时机地向学生穿插介绍历史上有许多大数学家们抛掷硬币实验的结果，让学生不但确信随着实验次数的增多，可以通过频率估计概率，而且让学生受到历史上数学家们求真务实的科学态度和锲而不舍的钻研精神的熏陶与浸染。情感态度知时节，恰到此时乃发生，悄无声息地对学生进行了第三维目标教育。
二、数学概念课教学的基本路径和实施措施
数学概念课教学的一般教学流程（或环节）是：概念的引入→概念的抽象→概念的明确与表达→概念的辨析→概念的应用→概念的“精致”。[2]
1.概念的引入（或背景引入）
借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念，引入方式主要有：（1）情境问题式；（2）以旧引新式；（3）认知冲突式；（4）直观形象式。
（1）情境问题式。课堂教学中经常给出一些具体现实问题情境让学生来观察，接着教师提出一个又一个由浅入深、由易到难的递进式的问题串帮助学生深入思考来导入。
例如“函数”概念的教学：人教A版教材安排了三个实例。
[例1]“炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h=130t-5t2，经过26s落地。”[3]
对此实例，我们设计如下问题让学生思考回答：
①时间t的变化范围是什么？
②问题“100s时对应的高度是多少”有没有意义？
③你认为如何描述才能真实反映炮弹发射过程？[4]
说明：①②问是引导学生关注自变量的取值范围及其重要性；③问是引导学生说出两个变量间的对应关系。
[例2]教材图中曲线显示了1979年至2001年南极上空臭氧层空洞的面积的变化情况。[3]
针对这一实例，教学中我们应该设计如下一些问题让学生思考回答：
①时间的变化范围是什么？空洞面积s的变化范围是什么？
②从所给的图中能回答“2002年对应的臭氧空洞面积是多少”吗？
③s是t的函数吗？为什么？
④这是一个函数，有解析式吗？如果让你表示出这个函数，你会怎么做？把这个图搬出来吗？——符号意识，s=f（t）呼之欲出。[4]
说明：①②问是引导学生关注两个变量的取值范围及其重要性；③问是引导学生体验两个变量间的对应过程，并能说出它们之间是怎样的对应关系；④问是让学生明白这两个变量是函数关系，用什么方式来表达，从而抽象化、符号化。
[例3]教材用表格给出1991年至2001年我国城镇居民恩格尔系数变化情况。[3]
对于此例，教师教学中类比例2，可以设计上述一些类似问题让学生思考回答。
（2）以旧引新式。课堂教学中经常根据新旧概念之间的联系，找出它们之间具有某些相同或相似的性质，区分它们之间的不同之处，充分利用旧概念引出新概念，可以从种概念引入类概念，采用对比方法，利用逆反关系，运用概念的推广或特例的联系等引入新概念。如在棱柱概念的基础上，可由增加内涵而直接引入直棱柱和正棱柱的概念；如对比等差数列的定义引出等比数列的定义；如利用逆反关系，由指数函数概念引出对数函数概念；如任意角三角函数的定义可由锐角三角函数的坐标定义推广而来等。
（3）认知冲突式。课堂教学中常常基于学生已有的认知结构，创设问题情境，诱发学生思考那些与自己已经具有的知识所不同的一些问题，形成学生认知上的冲突或矛盾或困惑，打破原有心理平衡，造成“愤”“悱”的心理状态，过去已有知识解决不了，需要引入新的知识才能解决，自然而然地引出新概念。如“复数”概念的引入教学，就注意形成学生认知上的矛盾冲突，从而引出了复数的
定义。
（4）直观形象式。数学概念一般来源于两个方面：一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得出的；另一方面是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象而获得的结论。中学生的抽象思维仍与直觉和感性经验相联系。直观的形象可使学生获得十分丰富且合乎实际的感性材料，因此，在教学新概念时，教师一定要细致耐心，尽量用学生熟悉的直观形象引入，这样可以使学生获得大量的与数学概念有关的感知和表象，然后再进行抽象概括，如此学生就更容易学习。如在教学“频率和概率”这两个概念时，一定要让学生动手操作，多次抛掷硬币、抛掷骰子等经典实验，亲身体验过程，从中感悟频率的稳定性，从而引出随机事件的概率的
概念。
2.概念的抽象（共性归纳）
提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征。
如在函数概念引入的三个实例的基础上，宜设计一些问题，引导学生逐步抽象揭示上述三个实例的共同属性。
问题：上述三个实例有哪些共同的
特点？
都涉及两个集合A，B，且都是非空数集；一个对应关系；对应关系的表示形式不同（解析式、图、表等），但本质一样：对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一一个数与之对应。
3.概念的明确与表达（下定义）
数学概念往往有多种表征方式，在不同的表征系统中建立概念的不同表征形式，并在不同表征系统之间进行转换训练，可以强化学生对概念联系性的认识。通过对几个实例的不断抽象，提出了它们的共同属性。如何明确本质属性呢？这就要给出准确的文字和符号的数学语言描述。在给概念下定义时要注意：宽窄适度，恰如其分；不允许循环；不得引用未被定义过的概念。
如在函数概念引入的三个实例的基础上，宜再设计问题，让学生怎样简捷地表示出来？
问题：如果把一种对应关系称为对应法则f，数集A，B中的元素名称分别记为x，y，那么上述三个例子的共同特点又可以如何来表达呢？
用符号化表达是数学的智慧，数学家是这么做的：f：A→B，即x→y=f（x），x∈A。这样就概括得到了函数的定义表达。
4.概念的辨析
通过正例和反例深化概念理解。在揭示概念定义后，为进一步突出概念的本质特征，防止概念误解，可以利用概念的正例或反例。以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例），不要过快地进入复杂的解题训练。
运用变式训练完善概念认识。变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化，通过变式，从不同角度研究概念并给出例子，可以全面认识概念。变式是变更对象的非本质属性特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。这样通过数式变式、图象变式等，可使学生更好地掌握概念的本质和规律。
“函数”概念教学辨析的重点是：对应关系相同但定义域不同，是两个不同的函数；“函数概念”教学的难点是：定义域相同但对应关系不同，也是兩个不同的函数。怎么辨析？应该回到实际中去。如步行平均速度5km，买商品单价5元，与用什么符号表示无关，只看自变量对应到什么结果；函数y=│x│，x∈R和函数y=，x∈R表示的是同一个函数；但函数y=│x│，x∈R和函数y=log22x，x∈R表示的不是同一个函数。
5.概念的应用
通过适当的练习让学生在解决问题的过程中理解掌握概念。用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。函数概念的应用除了给出紧扣函数三要素的练习外，还可以让学生根据已知函数解析式构建实际问题或数学问题，培养学生发现和提出问题的能力。
6.概念的“精致”
一定意义上，概念的精致可理解为概念浓缩，即抓住概念的精要所在；概念的精练表达和“组块”占记忆空间少且易于提取。因此，概念教学要让学生能抓住概念中简单而本质的关键词，对关键词的理解就是概念本质属性的理解，概念能起作用的是精致后的概念精要，把所学概念纳入概念系统，建立与相关概念的联系，形成功能良好的认知结构。学生只有把新概念纳入一定的知识体系，才能对概念有较完整而深刻的理解，要教会学生整理知识，使知识系统化，进一步巩固、发展、深化概念。如“函数”概念教学后，要不断深化对函数本质属性的认识与运用，因此，要把函数概念的本质和三要素纳入函数的表示、函数性质、分段函数、指数函数、对数函数、三角函数等内容的教学中，这样不但加深了对函数概念本质的深刻理解，又对后续内容的学习掌握奠定了坚实的基础。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.
[2]章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考，2010（3上）：2-5，11.
[3]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学A版（必修1）[M].北京：人民教育出版社，2007.
[4]章建跃.“第八届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动”大会报告[C].福州，2016（11）.
责任编辑：肖佳晓