2020湖北十堰压轴题解析：瓜豆原理、托勒密不等式、旋转全等~

此题题目条件很简洁，难度很大，事实上，题目中几乎每一个点都是动点，BD、CD是定长直线，但并没有固定下来。

题目求AD的最大值与最小值之差，我第一反应是托勒密不等式AD·BC≤AB·CD+AC·BD 从而得到AD≤BD+CD=14.但这个只能得到最大值，最小值并没有出现。这啥办呢？

如果我将△ABD旋转至ACE，连接DE。

这样，旋转后我们得到△ADE为等边三角形，从而DE=AD。事实上，这样AD、BD、CD就位于同一个三角形中，并且为同一三角形的三条边，根据三边关系，可以得到2≤AD≤14，从而得到结论12.

取等的条件是CDE三点共线的时候（两种共线，一是E在DC延长线上，二是E在CD延长线上）。

不过这个证明似乎并不是很完美，如果用瓜豆原来来解释这个题目就比较好了。

首先题目似乎每一个点都在动，但BD、CD长度是固定的，从而我们可以考虑把BD直线定住，则C点的运动轨迹就是以D为圆心，以CD=6长度为半径的一个圆弧。

因为∠ABC=60°，AB=BC，根据瓜豆原理，当C点运动的时候，A点也随着C点运动，并且他们运动的轨迹是一样的，所以A的轨迹也是一个圆，那只要我们找到A点轨迹的圆心O，我们就可以找到AD的最大最小值（最大值OD+R，最小值OD-R），本质上就是求点D运动轨迹的半径。

如图，以BD为边，构造等边三角形BOD。

∵AB=BC，∠ABO=∠CBD，OB=BD

∴△ABO≌△CBD

∴OA=CD=6定值

进而知A点的轨迹即为以O为圆心，以OA=6为半径的圆弧。

D为圆外定点，从而AD最大值与最小值之差为2R=12

解完题，我们发现，其实BD=8这个条件是否是无用的？如果条件直接改成BD＞CD似乎就可以了，这里保证点D位于圆O的外边，进而最大值与最小值之差就是2R=12.

其实作为填空的压轴，此题可以说难度并不大，因为可以猜测出答案，如果作为解答题需要标准的解答结果，或者直接不给BD=8这个条件，或许会难一些？

双减政策之下，大家不要太为难学生，题目要用通性通法求解即可，有一两道难题就OK了，千万不要太多。

初三一年是否可以翻身？学习的策略非常重要，每一个优秀的学生都会有自己的学习策略，而不同的学习策略必然导致不一样的学习效果。

从小学我们就学习了这样的公式：工作总量=工作效率×工作时间

而学习也是一种工作，应该也满足这个公式，因而，在学习时间下降的时候，学习的效率就尤为重要了。

效率来自哪里？策略、方法。

只有在正确的策略的指引下，你才能够真正做到事半功倍；也只有在正确的学习方法指导下，你才能实现学习效率的倍增。

从军行·其四

作者：王昌龄

青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。 

黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还。