三答汪涛先生及传统文化等问题
生民无疆
以下文章来源于国计学 ，作者程碧波
刚才汪涛先生给我转发了他的第三篇与我商榷的文章。正如汪涛先生所言，我也很乐意进行这样的探讨。
首先，汪涛先生说：“爱因斯坦与波尔当年也经常争论量子力学问题，爱因斯坦曾设计了很多测量方法，后被波尔发现错误并否定掉了”。理解汪涛先生的意思并不是要讨论量子力学，因为汪涛先生上一篇文章说了他不轻易进入量子力学。但是在无意之间，他还是不得不卷入了量子江湖，譬如汪涛先生上面这句话。因为这句话意味着：爱因斯坦是错的，而玻尔正确。但是我的意思是：“爱因斯坦和波尔都错了”。这其实也是今天高校中的“通识教育”所面临的事实：没有任何一所高校的通识老师真的想或真的能讲的明白量子理论或相对论，但是他们却在通识课堂上向同学们滔滔不绝地讲相对论或量子的神神叨叨，引得学生们也神神叨叨。不会有任何这样的老师会被冠以“民科”之名。但是，如果有哪位老师甚至是学生略微较一下真，真动笔去算算量子或相对论的推导，或提几个问题，那他就成为“民科”了。
下面进入汪涛先生和我商榷的内容。
汪涛先生说：“对这个问题（即汪涛先生说我的错误一）程先生的回复全在讨论几个回避实质问题的、关于全称判断与特称判断的含义，以及中国古代《墨经》的表述方法上......不知道程先生是否仔细学过集合论的“可数集”与“不可数集”是怎么定义的。这个要讲起来涉及太多集合论的专业知识。为了避免把不了解这个专业的人搞晕，同时对真正专业的数学人士可能又太简单了，所以我们只把相关知识列在这里就可以了。有兴趣的读者可以参阅其他专业的资料。”
我不清楚汪涛先生此话何来，我自认为我不可能如汪涛先生所说“回复全在讨论几个回避实质问题”。在汪涛先生《如何避免变成民科》一文中，汪涛先生关于“错误一”的全文截图如下：
汪涛先生说：“可数集：是与自然数能建立双射关系的集合。这又引出另一个概念“双射”，它是指即是单射也是满射的映射关系。具体定义就不继续讲了，简单来说就是可以建立起一一对应的关系。不可数集：是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系或法则），那么它就是一个不可数集。所有集合要么是可数集，要么是不可数集。”
汪涛先生继续说：“所有集合要么是可数集，要么是不可数集。所以，我们抛开全称判断与特称判断的名称讨论，而专注于相关概念的数学定义是什么。程先生引用的那个证明方法是德国数学家格奥尔格·康托尔在1891年给出的，也被称为“对角线法”。这个证明的基本逻辑是一个反证法，就是先假设它是一个可数集，然后构造一个数不在这个集合里，从而出现矛盾。由此证明它不是一个可数集，那它就是一个不可数集。不可数集并不是完全‘不可以数’，它当然是可以数的，只是不能数成与自然数一一对应。”
现在来详细回答汪涛先生。
一 关于可数和不可数
汪涛先生说应该根据“可数”和“不可数”的数学定义来讨论。但问题是，我正是按照汪涛先生现在拷贝过来的“可数”和“不可数”定义来阐述的。
“可数集：是与自然数能建立双射关系的集合”。这就是一个特称判断，只要至少列出一种方法来建立集合与自然数一一对应关系即可。
“不可数集：一个无穷集合和自然数集合之间要是不存在一个一一对应关系，那么它就是一个不可数集”。这就是一个全称判断，如果证明者给出某种一一对应关系，发现这种对应关系在A集合与自然数之间不成立，那只能得出严格结论：“A集合依照此种一一对应关系是不可数的”。但不能得结论说在其它任何一一对应关系下也不可数，因为其它对应关系你还没有证明。以康托尔的方法来说，就是他至多证明在十进制排列的对角线映射下是不可数的，但他还没有证明不用十进制或不用对角线映射下亦不可数。
所以汪涛先生说：“由此证明它不是一个可数集”，就不成立。因为没有把映射关系穷尽。
顺便指出，汪涛先生说：“所有集合要么是可数集，要么是不可数集”。这句话也有问题。数学上有真命题、假命题，还有不可证明的命题。完全可能存在集合，它的可数性“不可证明”，因而无法判定为可数还是不可数。这在中国古典逻辑学上本来是很简单的常识，但是哥德尔因此精神分裂，最后因为不敢吃饭而饿死了。
至于汪涛先生说：“不可数集并不是完全‘不可以数’，它当然是可以数的，只是不能数成与自然数一一对应”。汪涛先生有这个自信很好，请汪涛先生给我们演示一下实数集合如何“不与自然数一一对应”地可数。
二 关于整数队列的对角线构造
汪涛先生说：“康托尔要在 （0，1）这个特殊的子集中构造数字，就是因为它有特殊性，构造的数字还在（0，1）这个集合中，更重要的是它构造的数字虽然是无限长的，但却一定是有意义的数字。如果按上述程先生这样来构造：
图2
按红色数字提取出来的是100000000......第一位是1，后面全是无限长的0，这是什么数字？......这个与中国文化传统的书写习惯从左向右，还是现在是从右向左没有丝毫的关系，与算盘等同样没有丝毫的关系。因为它并不是从右向左写，如果那样的话，“03”按现在的读法来理解就成‘30’了”。
首先纠正一个基本错误：在中国算筹、算盘，以及现在的竖式写法中，“03”从个位对齐朝左边高位方向写，写出来是“03”，读也读作“03”，而不是汪涛先生说的“30”。例如：
图3
图3中，“03”就是右个位对齐，朝左边高位可以无限延伸，但是它仍然是“03”而不是“30”。否则从小学开始学的竖式计算规则就被汪涛先生否了。希望汪涛先生在我本次答复后，能多花一点时间思考，不要急着回复。
因此，汪涛先生前面说“按红色数字提取出来的是100000000......第一位是1，后面全是无限长的0”是不正确的。不过，这个不正确，不影响我们阐述汪涛先生后面讲的无穷大问题。因为按照对角线法则，即使提取出来红色数字是“......000001”，对其各位数取异，例如逢0取任意非零数字，否则取0，则生成的数就可能是“......3675890”，这仍然是一个无穷大的数。
因此汪涛先生发表意见：“无穷大是指可以无穷地增大，而不是本身就绝对是‘无穷大’这个数，那样就没意义了。所以，在边界为无穷大的集合表达中，无穷大那一边用的必须是圆括号，而不能用中括号。如[0,∞),这表示从0开始并包括到无穷大（但没有无穷大这个数）的实数集合。要保证穷尽集合中所有元素，构造的数字就成无意义的无穷大数。要保证构造的数字有意义，它只能是有限长的，就不可能穷尽集合中所有元素。因此程先生的构造方法有内在的矛盾。”
汪涛先生说：“要保证构造的数字有意义，它只能是有限长的”。但问题是，汪涛先生前面已经说了：“康托尔要在 （0，1）这个特殊的子集中构造数字，就是因为它有特殊性，构造的数字还在（0，1）这个集合中，更重要的是它构造的数字虽然是无限长的，但却一定是有意义的数字”。
所以汪涛先生前面认为我“数字有限长”是“数字有意义”的必要条件，“只能”两字无比醒目。后面汪涛先生又认为康托尔“数字虽然无限长”，但“数字却有意义”。这就太双标了吧？自然科学，原来也可以如此双标？
康托尔构造的数，是位数往右边无限延伸的不确定数；我所构造的数，是位数往左边无限延伸的不确定数。康托尔的集合是（0,1）的开集，我的集合也是[1，∞）的开集。我的集合当然如汪涛先生说的“无穷大那一边用的必须是圆括号，而不能用中括号”，问题是康托尔的集合（0,1）也是圆括号而不是中括号，对不？汪涛先生在这里又采用了双标。
汪涛先生说：“第一位是1，后面全是无限长的0，这是什么数字？无穷大是指可以无穷地增大，而不是本身就绝对是‘无穷大’这个数，那样就没意义了。”汪涛先生需要思考：“......3675890”没有意义，为什么“0.0985763......”就有意义？同样有无穷多项未知，请问康托尔构造的、向右无限延伸的“0.0985763......”是什么意义的数？它是数吗？是确定的数吗？
汪涛先生纠结于“......3675890”是否为无穷大是没有意义的。研究数学，应当有对称的哲学思维，我的构造，与康托尔的构造，只是方向不同，但是完全对称。所有对我的批评，都可以移植康托尔的构造上去。汪涛先生非要纠结这个无穷大，那我也同样按照康托尔的做法来变换一下即可（注意，关于汪涛先生这个纠结，在我的原论文中已经写了从无穷大通过倒数来映射到有界数值的问题，因此不是汪涛先生提出问题后我再补充的）：
变换映射为：y=1/x。本式中，x为自然数，y为自然数变换后的新数。显然y的区间为[1,0)。y与x一一对应，x为自然数，可数。y当然也可数。现在仍然按照x排序的顺序来排列1/x，同时按照分母（也即x排列）的对角线构造新数“......3675890”，以新数“......3675890”作为分母的数（也即新数的倒数），其值就趋于0，在区间(0,1]中。但是这个新数因为不在分母的集合中，所以新数的倒数也不在{1/x}集合中。同样得到1/x不可数的荒谬结论。
变换映射的方法还有很多，使用康托尔变换的tg映射也可以。这说明无穷大跟无穷小是对称的。汪涛先生之所以担忧无穷大方向上的不确定，却不担忧无穷小方向上的不确定，完全是因为他的数学错觉。
三 科学要不要掺进“中华传统文化”的说法？
汪涛先生说：“在讨论科学问题的时候不要毫无必要地掺进去没有丝毫关系的‘中华传统文化’的说法。是什么问题就说什么问题，否则就很容易导致理解的混乱。尽管德国数学家康托尔是集合论的创始人，但世界上从来没有任何人说集合论是“德国传统文化”，也没有任何人说相对论是犹太传统民族文化。你只能说德国、犹太人、中国人、法国人、俄罗斯人......对科学做出的贡献是什么。科学不属于任何国家和民族，它在全世界遵从完全统一的标准。”
但中华传统文化的问题，是汪涛先生先提的。在汪涛先生《如何建立以原创为主导的科技创新体制》一文中说“当我们谈到中华文明的复兴，尤其同时还在谈文化自信时，千万不要形成一个误会：中国现在要完成的历史使命就是要重振中国古老的‘诗词歌赋、琴棋书画、四书五经’等......”并且汪涛先生给我们推荐文献时，全部推荐的是西方文献。那就是说，中国就没有什么科学传统，即使有个四大发明，还不是中国人总结出来的，按照汪涛先生的话说：“中国在历史上对科学文明的发展起到过世所公认的重要作用，需要强调的是这种作用并不是中国人自己先发现的，而是在科学发展过程中自然展现并被世人所公认的，中国人自己反而是后来才明白这种贡献的。所谓“四大文明古国”，就是从对科学文明的发展所产生的作用角度来讲的，中国的‘四大发明’也是从对科学贡献的角度来讲的。这四大发明在中国自己的历史中并不是那么地被看重。”
这些表述给大家的印象是：好不容易中国人有技术无科学梦游般无意识地弄出了四大发明，中国人自己还意识不到这些居然是发明。
相反，我在文章中应该极少提中华文化。我向汪涛先生推荐《周髀算经》《墨经》等书，汪涛先生不应该认为这只是中华传统文化而不是我在提供科技文献。汪涛先生本文已经接受了《墨经》所阐述的全称判断和特称判断，不应该认为只有西方逻辑学说了才是科学，中国《墨经》说了就不是科学而只是中华传统文化。不应该认为参考文献只能写西方文献，不能写中国古典文献，否则就是“毫无必要地掺进去没有丝毫关系的‘中华传统文化’”。
从严格的科学角度，再需要纠正汪涛先生一点：德国数学家康托尔不是集合论的创始人，《墨经》才是迄今已知人类第一部集合论著作：《墨经》提出系统化的集合论。其定义集合为“兼”，集合的元素或子集为“体”( (墨经·经上): 体，分于兼也)。余集为“损”( (墨经·经说上):兼之体也，其体或去或存，谓之存者损)。闭区间为“有间”( (墨经·经说上):有间，谓夹之者也)。闭区间的界为“夹”。开区间为“间”( (墨经·经上):间，谓夹者也;间，不及旁也)。交集为“体同”( (墨经·经说上):不外于兼，体同也)。合集为“合同”或“类同”( (墨经·经说上):俱处于室，合同也;有以同，类同也)。相交为空集则为“异”( (墨经·经说上):二、不体、不合、不类)。
不仅如此，《墨经》还提出用集合论来进行逻辑推导。《墨经·大取》将“同”的含义用集合论解释为“辞以类行”。“辞”就是今所谓逻辑，“类”就是今所谓“集合”。
我想我的这个纠正，应该是符合学术规范的，不是“毫无必要地掺进去没有丝毫关系的‘中华传统文化’”。
当然，汪涛先生说得对，相对论不是中华传统文化。这种写在本科教材上，却连本科生去推导讨论一下都害怕而立刻扣上民科帽子的理论，中华传统文化中没有这种东西。客观地说，相对论这种神神叨叨的东西，真是犹太传统民族文化才能干得出来。
汪涛先生反复强调“科学不属于任何国家和民族，它在全世界遵从完全统一的标准”。其实人们的习惯常是缺什么就喜欢念叨什么。在很多人心中，这个“全世界遵从完全统一的标准”就是“西方的是西方的，中国的还是西方的”，标准再整齐划一不过了。譬如“无问西东”，其实意不过是“无问西东，都是西的”。