二倍角辅助线的添加规律

一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：

（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.

如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.

（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题.

如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.

【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.

思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可.

【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED⊥AC于D.

则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.

即∠B=∠CDE=90°.

思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.

【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.

在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，

∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.

思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC.

【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图

则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°. ∵CD=CB，∴ ∠D=∠CBD ∴ ∠ACB=2∠D ∵ ∠ACB=2∠A， ∴ ∠A=∠D

∴ AB=BD 又∵AE=DC ∴ △ABE≌△DBC. ∴ ∠ABE=∠DBC ∴ ∠ABC= ∠EBD=90°.

【总结】

关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.

【配套练习】

1、已知：△ABC中，∠ACB=2∠B.求证：2AC＞AB.

2、已知：AD是△ABC的中线，∠C=2∠B，AC=1/2BC. 求证：△ADC是等边三角形.

【答案】

1、延长BC到D，使CD=AC，连接AD，则AD=AB，∵AC+CD＞AD ∴ 2AC＞AB.

2、思路一：延长DC到E，使CE=AC，连接AE，则△ACE、△ABE都是等腰三角形，可证得△ABD≌△AEC，则AD=AC. 又∵AC=DC ∴ AC=DC =AD.

思路二：作∠C的平分线CF，连接FD，则∠FCB=1/2∠ACB，证△ACF≌△DCF可得.