河北2021年中考数学选择题的压轴题，谜之条件，你能解释吗？

这是河北2021年中考数学选择题的压轴题，中考想取得好成绩就要多练练这种题目，积累经验，考试的时候才能得心应手。

如图, 等腰△AOB中，顶角∠AOB=40度,用尺规按①到④的步骤操作：

①以O为圆心，OA为半径画圆；

②在⊙O上任取一点P(不与点A，B重合), 连接AP；

③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；

④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F.

结论I：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；

结论II：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM=S扇形AOB.

对于结论I和II，下列判断正确的是：

A. I和II都对；B. I和II都不对；C. I不对II对；D. I对II不对.

分析：先看结论I，依题意先顺次连接MENF，得到四边形MENF，如图：

可以根据“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”的判定定理，判定四边形MENF是矩形。或者先由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”先判定四边形MENF是平行四边形，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”判定平行四边形MENF是矩形。

其中OM=ON，OE=OF，且MN=EF。不过这样子其实是不严谨的，如果是证明题或者解答题，这样的证明或者作答严格来说，要扣0分的。因为必须先证明MN和EF过点O，或者证明MN和EF是直径。

因此要根据“垂径定理的逆定理”，或者“垂直于已知弦的弦是直径”的判定定理，判定MN和EF 都是直径。严谨的证明过程如下：

∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP；

由 “垂径定理的逆定理”可知，MN和AP都是⊙O的直径；

接下来也可以用“直径对直角”证明四边形MENF是矩形。

∴∠MEN=∠MFN=∠ENF=90度；∴四边形MENF是矩形.【依据“有三个直角的四边形是矩形”】

所以结论I是正确的。

再看结论II：先不考虑P点，使S扇形FOM=S扇形AOB的F点有两个，如图，这是圆对称性决定的。

其实只要∠MOF=∠AOB，就有S扇形FOM=S扇形AOB。两个F点可以倒推出两个P点，因此满足条件的P点不是唯一的。

现在还有最后一个问题，题干中所给的“∠AOB=40度”到底有什么用？一开始老黄觉得这个角度可以避免符合条件的两个P点重合，因为一旦重合，那么P点就是唯一的。不过细想一下，如果两个P点重合，那么两个F点就重合，根据圆的对称性，P点就只能在M点或N点的位置上，接下来会推出错误的条件，所以这个角度实在还是个谜，聪明的小伙伴们，有谁能说出这个角度到底起到什么作用吗？