如何巧算期权价格和希腊值：期权平价公式
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4. 期权平价公式
接下来为
5. Delta(I)
6. 期权定价
7. Delta(II)
……
4 期权平价公式（Put Call Parity）
当偶然听到“看涨即看跌、看跌即看涨(call is put and vice versa)”时, 许多人可能会很惊讶, 但实际上看涨期权和看跌期权的确存在直接关系, 它们是"可互换"的. 它们之间的关系一旦出现偏离, 市场套利操作很容易将其纠正. 这其实也是希腊字母之间的某些关系; 看涨期权和看跌期权是"可互换"的, 若关系偏离“均衡”则可能出现套利机会, 其大多希腊字母(gamma、vega、theta)的关联也应该相同.
本章将介绍期权平价公式（也称为看跌-看涨平价公式）的工作原理、看涨期权是何如通过合成（synthetics）操作转换为看跌期权的、以及看跌期权又是如何转换为看涨期权的. 首先, 用图示方式简单回顾一下看涨期权、看跌期权以及期货的损益分布. 这里给出行权价为$50的买入看涨期权(long call)、卖出看涨期权(short call)、买入看跌期权(long put) 和卖出看跌期权(short put)四种情况的损益图以及成交价为$50的期货多头(long)和期货空头(short)两种情况的损益图.
行权价为$50的买入看涨在到期日的损益图如图4.1所示. 显然, 若到期日时的期货价格低于$50, 则期权价值为0; 若高于$50, 则多出的部分为内在价值(intrinsic value), 能直接带来盈利(这里暂不考虑权利金, 下同). 因此, 当到期日时的期货价格高于$50时, 可通过行权获利, 盈利金额为期货价格与行权价的差额(F-K ). 例如, 若期权到期日的期货价格为$75, 则该期权可得利润$25.
图4.1 到期日时行权价为$50的买入看涨期权损益图（long $50 call）
行权价为$50的卖出看涨期权在到期日的损益图如图4.2所示. 在期权到期日, 如果期货价格高于$50, 则卖出看涨期权将被行权而产生亏损, 亏损金额为行权价与期货价格的差额( K-F ). 例如, 到期日时的期货价格为$65, 则卖出看涨期权亏损$15.
图4.2 到期日时行权价为\$50的卖出看涨期权损益图（short $50 call）
行权价为$50的买入看跌期权在到期日的损益图如图4.3所示. 当到期日时的期货价格低于$50, 则通过行权获利K-F ; 反之, 则期权毫无价值. 例如, 期权到期日时的期货价格为$40, 则买入看跌期权获利$10.
图4.3 到期日时行权价为$50的买入看跌期权损益图（long $50 put）
行权价为$50的卖出看跌期权在到期日的损益图如图4.4所示. 当到期日时的期货价格低于$50, 则期权被行权, 亏损金额为F-K.
图4.4 到期日时行权价为$50的卖出看跌期权损益图（short $50 put）
持有期货多头头寸的损益图如图4.5所示. 期货买入价格仍假设为$50, 若平仓时期货价格高于$50则获利; 反之, 则亏损.
图4.5 成交价为$50的期货多头损益图（long the Future at $50）
持有期货空头头寸的损益图如图4.6所示.
图4.6 成交价为$50的期货空头损益图（short the Future at $50）
4.1 合成期货多头头寸: 反转结构（Reversal）
若在买入平值看涨期权(深灰色线)的同时, 卖出具有相同行权价（假设为$50）和到期日的(平值)看跌期权(浅灰色线), 那么, 该期权组合在到期日时的损益图如图4.7 所示.
图4.7 到期日时行权价为$50的反转期权组合损益图（Reversal at $50）
在到期日, 若期货价格高于$50, 则该期权组合可获利, 且获利金额为期货价格的涨幅; 也就是说, 若期货价格上涨$10, 则该期权组合获利$10(其中买入看涨期货获利$10, 卖出看跌期权获利为0). 反过来, 当期货价格低于$50, 该期权组合将产生亏损, 且亏损额为期货价格的降幅. 例如, 若期货价格跌\$15至$35, 则期权组合将亏损$15(其中买入看涨期权亏损0, 卖出看跌期权亏损$15). 由此看出, 实际上, 该期权组合的损益图与以\$50价格持有的期货多头头寸是相同的.
在买入看涨期权的同时卖出看跌期权(具有相同行权价和到期日), 可以合成期货的多头头寸. 这种期权组合结构称为反转(reversal): 看涨期权-看跌期权=期货(C-P=F). 即建立反转结构的期权组合, 实际上是期货多头头寸. 通过建立期货空头头寸可以对冲该期权组合, 使得损益保持中性(即理论损益为0).
4.2 合成期货空头头寸: 转换(Conversion)
若构建具有相同行权价和到期日的买入看跌期权和卖出看涨期权组合, 那么, 在到期日时, 该组合的损益分布如图4.8所示.
图4.8 到期日时行权价为$50的转换期权组合损益图（Conversion at $50）
该期权组合与期货空头头寸的损益图完全相同. 通过买入看跌期权和卖出看涨期权可合成一个期货的空头头寸, 这种组合结构称为转换(conversion)：买入看跌期权–卖出看涨期权=-期货(P-C=-F). 可通过建立期货多头头寸来对冲该期权组合以实现损益中性.
反转套利和转换套利是由专业期权交易者设置的，以套利市场上的微小差异（主要是期权报价中的买卖差价，但也与利率、股息或小的定价错误有关）. 对于非专业交易者来说，如果采用期权策略的唯一目的或结果仅仅是为了合成期货的多头或空头头寸, 这是没有任何价值的, 还不如直接建立期货头寸更简单、更便宜、甚至更具流动性.
上述两种结构要求看涨期权和看跌期权的希腊字母相同. 仍以行权价为$50的看跌期权和看涨期权为例, 若他们的希腊字母产生机制不同或数值有差异, 是不可能合成期货多头或空头头寸的. 期权组合在存续期内或到期日时若显示不同的损益分布，则可能存在套利机会.
因此，“看涨即看跌，看跌即看涨”.
4.3 合成期权（Synthetic Option）
考虑反转结构等式C-P=F两边同时加上一个买入看跌期权P（依照代数规则计算）, 该等式将变成
C - P + P = F + P 或 C = F + P.
所以, 买入看涨期权可由期货多头头寸和买入看跌期权合成, 在到期日时的损益图如图4.9所示.
图4.9 行权价为$50的合成买入看涨期权（Synthetic $50 call）
图4.9显示由期货多头头寸(深灰色线)和买入看跌期权(浅灰色线)可合成买入看涨期权. 当期货价格低于$50时, 每下跌1美元, 则期货多头头寸亏损1美元; 然而, 买入看跌期权将100% 补偿期货头寸的亏损(期货价格每下跌1美元, 期权将盈利1美元). 因此, 这时, 即使价格仍在下跌, 该组合也是盈亏平衡的.
当期货价格上行且高于$50, 则产生获利空间; 该组合策略相当于持有期货多头头寸, 所以价格每上涨1美元将获利1美元. 期货价格在$50以上时, 买入看跌期权对组合的损益分布没有任何影响(已经一文不值). 实际上, 这些都是买入看涨期权的特征.
再考虑转换结构的等式P-C=-F, 将其两者同时加上买入看涨期货, 则该等式将变为
P - C + C = - F + C 或 P = C - F.
如图4.10所示, 由买入看涨期权(浅灰色线)和期货空头头寸（深灰色线）可合成买入看跌期权. 当期货价格高于$50时, 期货空头头寸将产生亏损, 而买入看涨期权将获利, 且盈亏完全抵消. 若期货价格低于$50, 对买入看涨期权无任何影响; 对期货空头而言, 价格每下跌1美元将获利1美元. 实际上， 这正是买入看跌期权的特征.
图4.10 行权价为$50的合成买入看跌期权（Synthetic $50 put）
仍假设行权价和期货价格为$50, 在反转结构或转换结构上增持相应的期货头寸(反转结构对应期货空头、转换结构对应期货多头), 这将损益保持中性, 不会产生任何现金流. 但若任一组合能带来现金收益, 立刻会被套利操作抹平.
以上的讨论均是针对平值期权而言, 但如果期货交易价格不变、反转结构期权行权价为$45会出现什么变化呢? 我们知道, 交易员建立期权反转头寸的同时, 为保持损益中性不得不卖出相应的期货头寸(回忆 C - P = F , 所以若持有买入看涨期权和卖出看跌期权组合, 相当于期货多头头寸, 可通过卖出期货对冲. 有时可能会价格错位).(译者注: 这种期权和期货的组合策略称为反转套利, 类似地, 也可以进行转换套利)
假设交易员操作如下: 他买入行权价为$45的看涨期权、卖出相同行权价和到期日的看跌期权, 同时卖出在价格为$50时卖出期货, 假定建仓时无交易成本、也无现金流动（卖出看跌期权所获的权利金恰好用于支付买入看涨期权的费用）.
在表4.1中, 无论期权到期日时的期货价格如何, 交易员均能从组合策略中获得$5的收益. 然而，这是不可能的: 任何套利者都会投资4.90美元, 最终获得一笔小额但确定的利润.
需要指出的是, 买入看涨期权是实值期权, 交易员在建立策略时行权价就低于市价$5. 因此, 当期货价格为$50时，行权价为$45的看涨期权的价值应该比同样行权价和到期日的卖出期权高出$5. 这个$5的价值称为看涨期权的内在价值.
当期货价格为$50时, 行权价为$50的反转或转换期权组合是没有现金流的. 然而, 若采用任何其它行权价, 则意味着现金流应等于期权组合的内在价值. 例如, 行权价为$40的反转期权组合中, 内在价值为$10, 看涨期权比看跌期权高出$10. 交易员必须为这种策略支付$10. 对于行权价为$55的反转期权组合, 看跌期权具有内在价值$5, 因此, 持有该组合（卖出看跌期权）的交易员应获得$5. 假设没有收到任何现金流, 则策略总是以$5的损失结束, 如表4.2所示:
若期货价格为$50, 所有行权价低于$50的看涨期权和高于$50的看跌期权均具有内在价值. 从期权的权利金中扣除内在价值后, 剩余价值称为外在价值(extrinsic value).虚值看跌期权的价值将等同于相同行权价、到期日的实值看涨期权的外在价值; 同样, 虚值看涨期权的价值等同于相同行权价、到期日的实值看跌期权的外在价值. 下面举例说明, 期货价格仍假设为$50, 期权的波动率为30%、到期期限为1年.
在表4.3中, 任意反转或转换期权组合的价值等于其内在价值. 比较期权价格, 或仅仅观测看涨期权和看跌期权的外在价值, 或许能更清晰地察觉看涨期权和看跌期权之间的关系.
本章前面提到, 依据期权平价公式, 看涨期权的希腊字母(gamma、vega 和 theta)必须与相同行权价和到期日的看跌期权一致. 这意味着, 实值看涨期权的gamma、vega 和 theta 与同一行权价的虚值看跌期权是相同的. 对实值看跌期权而言, 结论是类似的, 其希腊字母与同行权价的虚值看涨期权的相等. 因此, 在介绍希腊字母的章节中, 仅区分平值期权和虚值期权, 不再分析实值期权. "虚值期权"是虚值看涨期权和虚值看跌期权, 其分别与实值看跌期权、实值看涨期权的特征相同. 在此补充一句, 大多数交易员会使用实值期权和虚值期权, 而采用平值期权通常是获利回吐或止损交易的结果.
4.4 备兑卖出看涨期权(Covered call writing)
为了获得超额收益, 资产/期货多头的持有者可卖出该标的资产/期货的看涨期权, 这称为备兑卖出看涨期权. 若期权到期后的价值为0, 则收到权利金, 然后再滚动卖出, 执行该策略. 依据期权平价公式, 资产/期货的持有者实际上是持有卖出实值看跌期权. (译者注: 持有者卖出看涨期货后, 一旦对手方期权买家选择行权, 就必须交割, 因此, 其所持的资产头寸就变成准备兑付用的资产. covered 即备兑, writing即卖出).
例如, 某交易员以价格$50买入期货多头头寸, 并以行权价$55卖出与期货同等数量的看涨期权. 若该期权价值为$1,
依据期权平价公式, 同行权价的看跌期权应该价值$6(内在价值为$5; 外在价值与看涨期权价值相等). 该交易员所持有的头寸为 F (买入价$50)- C (行权价$55).
若期货价格高于$50, 则价格不低于$55时, 该策略的表现最佳. 若价格恰好为$55, 期货可获利$5, 卖出看涨期权可收到$1权利金, 合计盈利$6. 若价格高于$55, 期货盈利的盈利虽然更多, 但多出的盈利将被卖出看涨期权完全抵消, 因为看涨期权买家选择行权.
若期货价格低于$50, 则$49为盈亏平衡点. 卖出看涨期权所得的$1权利金, 可降低期货多头头寸成本$1. 若价格再低, 则每下跌$1, 该策略将多亏损$1. 因此, 该策略与净卖出行权价为$55的看跌期权(获得$6的现金流)的损益分布相同.
4.5 关于利率的简短说明
在建立反转或转换的期权组合时, 若期货价格为$50, 反转组合的行权价低于\$50或转换组合的行权价高于$50, 则必须支付现金流. 如果反转组合的行权价高于$50(卖出实值看跌期权), 或者转换组合的行权价低于$50(卖出实值看涨期权), 将获得现金流.
这些现金流必须根据利率进行调整. 交易员有时借钱建立策略,有时将收到的现金流进行储蓄. 因此, 需要按照利率对在期权到期日产生的现金流进行折现.
例如, 在期货价格为$50时, 建立行权价为$40、期限为1年的反转组合, 若利率为5%, 需要支付的现金流不是$10而是$9.50. 或者, 更准确地说为$9.51(在金融市场和Black-Scholes模型中,标准化的用法为连续折现因子）, 即
, 其中e 为自然常数, r 为百分数形式表示的利率, t 为以年为单位计算的到期期限.
接下来将由浅入深地介绍delta
2021.7.24