2020北马其顿"亚历山大-布拉泽夫斯基-凯恩"纪念赛 中文翻译

第一天

1.圆内接四边形 中,. 在边 和 上分别取点 , 使得 .
求证: .

2.已知 为素数, 集合 . 若 的子集 满足, 对任意 , 均有 (mod ) ,就称是好的集合.
求好的集合可能的元素的个数.

3.对给定正整数 , 设 表示满足的所有 元非负实数组 所组成的集合. 对 以及 , 考虑集合 .
证明以下结论:
(1) 存在 以及 .
(2) 不等式 成立.并证明, 左边的不等号只对有限个n成立, 而右边的不等号对无穷多个n成立.

第二天

4.求所有正整数 , 使得它恰有 个正因数.

5.如图, 外心为. 线段s 和的垂直平分线分别和直线,交于点 . 求证 共线.

6.设表示正实数集.求所有函数 ,使得对任意 ,均有

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。