初中奥数精讲——第27讲 计数方法（一）

本讲适用于初一、初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

一、知识点解析

1. 所谓计数，就是数数，即把我们研究的对象的数目数出来。在计数问题中常常根据所给问题的知识背景把它分为几何计数问题与代数计数问题。

2. 解决计数问题常用的方法

（1）枚举法。就是要把要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数的过程。枚举法的列举过程中，必须注意既不重复，也不遗漏，必须力求有次序、有规律地进行。

（2）原理法。即为利用加法原理、乘法原理和容斥原理进行计数的方法。

加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法。在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，。。。，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。。。+mn种不同的方法。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤。做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，。。。，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法。

运用上述两个原理的关键在于分类要恰当，分步要合理。分类必须包括所有情形，又不交错在一起产生重复，要依据同一标准划分。分步则应使各步首尾相接，环环相扣，随着各步依次完成，保证整个事件得到完成，不得多余或重复，也不得缺少某一必要步骤。

容斥原理：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的技术方法。

两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）。

三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|。

（3）代数法。就是利用方程（组）或不等式（组）和递推完成计数的方法。

（4）配对法（又称对应法）。

（5）作图法。

这部分主要考察学生的对计数方法的了解及掌握，计数方法是很有意思的一类奥数题。这部分题型特殊，种类繁多，要学好基础知识，才能保证在计数方法的学习上超过别人，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1 （“五羊杯”初一竞赛题）

一块2×2的方格由4个1×1的方格构成，每个小方格被涂上红、绿两种颜色之一，如果要求绿色方格的上方和右方不能与红色方格邻接，且上述四个小方格可以全部不涂绿色，也可以全部涂上绿色，则可能的涂色方法有_______种。

例2 （江苏省数学竞赛第一试初二试题）

跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格，在格中，每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有________种方法。

人

1

2

3

4

5

6

例3

从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？

例4

如图，I、II、III、IV、V五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色。若使相邻的区域着不同的颜色，问有多少种不同的着色方式？

例5

将正方形ABCD的每条边分为四等分，取分点（不包括正方形的4个顶点）为顶点可以画出多少个三角形？

例6

某中学学生到“活动中心”去参加活动。其中参加划船的有156人，比乘电动火车的少40人，比参加电子游戏的多26人；既参加划船又参加电子竞技的有74人；既参加乘电动火车又参加划船的有80人，是既参加电子游戏又参加乘电动火车人数的2倍；三种活动都参加的有30人。这个中学去“活动中心”参加活动的学生共有多少人？

例7 将无区别的7个橘子分别放置在3个同样的盘子内，允许有的盘子空着不放，请问有多少种不同的放法？

例8

平面内100条直线至多可把平面分成多少部分？