三角形（三十）

（节选自不秃头的几何）

数学的精确性在于你只要把条件稍微改一改，很多结论就要发生变化了。

很多家长也都问过我这样的问题：贼老师，怎么能够让孩子融汇贯通呢？

这就涉及到对数学本质的理解了。很多家长觉得学好数学就是要多做题，甚至有些数学老师也这样认为，这其实是有很大的误区的。

数学中的定义、定理是经过长期的打磨而得到的精准的关于数学性质的描述，而很多学生恰恰就忽略掉这些东西。比如说全等，全等的核心在于形状和大小都要相等。因此全等的各种判别定理中一定要有一条边对应相等的条件，否则的话并不能保证两个图形是全等图形。

那么如果我们就把三角形全等判别条件中边的条件去掉会变成什么样呢？也就是说，两个三角形对应的角都相等，那么我们得到如下两个图形：

可以看到，这两个图形的形状相同，但是大小不同。如果我们拿尺子量一下对应的三条边，就会发现边长对应成比例。

我们把对应边成比例，对应角相等的两个三角形称为相似三角形。特别的，如果比例为1的话，那么此时就变成全等的情形。

事实上，在平面几何中，相似是比全等要一般的多的情形，因为限制越少，就越容易满足条件，题目也就越灵活。

那么我们该如何判别两个三角形相似呢？

我们有如下定理。

判别定理1：如果一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判别定理2：如果一个三角形两边与另一个三角形两边对应成比例，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

判别定理3：如果一个三角形的三边和另一个三角形三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

如果像小和尚念经一般地死记硬背，那么肯定是学不好的。既然相似和全等之间有这么紧密的联系，我们就应该引导孩子试图去找判别方法之中的联系。

首先来看判别定理1。这很容易联想到全等判别定理中的ASA和AAS，无非是去掉了边对应相等的条件。而三角形中如果有两个角相等了，那么第三个角自然就相等了。

判别定理2其实是SAS的翻版，所以把原来的边对应相等改成了对应成比例，但是夹角必须要对应相等。

至于判别定理3，自然是SSS的一般情况。

你看，这不就是把特殊和一般的关系给整明白了？

有了这些联系，我们就会对相似三角形中平行这种位置关系特别的重视，为什么呢？

因为平行会带来很多的角相等，无论是直接证明，还是间接转化，都对证明两个三角形相似会大有帮助。当然，垂直关系也非常有用，但是和平行比起来显然要逊色一些。

我们可以很直接地得到以下的结论：平行于三角形一边的直线和三角形其余两边相交，所构成的三角形和原三角形相似，这个是原来的全等三角形中所没有的内容。

那么还有没有遗漏掉的全等三角形的判别定理？如果有的话又应该怎么改写呢？（提示：HL判别定理）