操作演算 沟通联系 完善认知建构——“体积单位的进率”教学片断与思考|小学数学教育
“不教之教，无言之诏。”——《吕氏春秋·君守》
我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。——陶行知
苏教版教材将长方体和正方体学习安排在两个单元进行：首先是一年级上面的“认识图形（一）”，让学生直观认识长方体和正方体，初步了解其外部特征；其次是六年级上册“长方体和正方体”单元，让学生认识长方体和正方体的内部特征，即结构特征，以及表面积、体积等知识。
“体积单位的进率”这节课是在学生已经认识了长方体的基本特征、体积（容积）的意义、常见的体积单位、长方体和正方体的表面积和体积计算的基础上，引导学生通过操作、计算、比较、分析、想象等数学活动，理解和掌握相邻体积单位间的进率是1000，并能进行正确的应用；进一步强化1立方米、1立方分米（升）、1立方厘米（毫升）的空间观念，感受数学知识之间的紧密联系，培养学生比较、分析、概括和迁移等学习能力，并学会解决一些简单的实际问题。
由此，在教学“体积单位的进率”这一内容时，要从整体上把握知识结构，关注学习经验中的组织逻辑，清晰了解学生的认知起点，努力激活唤醒学生原有的学生经验，以整体、联系、发展、建构的教学观来架构教学进程，通过观察、操作、演算、推理与想象，归纳得出知识结论，沟通知识相互联系，进而不断完善学生的认知建构。
片断一：激活经验，在生疑中引入
师：之前我们学习过长度单位和面积单位，请同学们完成下面的填空，说说长度单位和面积单位之间的进率各是多少。
出示：
生：我知道，1分米=10厘米，1平方分米=100平方厘米。
生：我知道相邻长度单位之间的进率是10，相邻面积单位之间的进率是100。
师：说得很好！老师想问问大家，你们怎么知道1平方分米=100平方厘米呢？
生：因为1分米=10厘米，1平方分米大小的正方形面积就是1平方分米，而这个正方形的边长也是10厘米，10×10=100（平方厘米），所以1平方分米就是100平方厘米。
出示下面的图示帮助学生回忆：
师：遇到数学问题的时候，我们可以借助图示，直观地理解题意，找到解决问题的方法。我们已经学习过哪些体积单位？
生：常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。
师：那么，不同的的体积单位各有多大呢？请同学们手势比划一下1立方厘米和1立方分米的大小，并说说是根据什么来比划的？
生1：我用棱长1厘米的正方体来比划1立方厘米的大小。
生2：我是棱长1分米的正方体来比划1立方分米的大小。
师：说得不错！如果现在要同学们估计1立方米的大小，你有办法吗？
学生用米尺比划1米，再在墙角比划出1立方米，师生共同评价。
师：学到这里，同学们有什么问题需要提出来吗？
生：我们已经知道长度单位与面积单位之间的进率，我还想知道体积单位之间的进率，我提的问题是——体积单位之间的进率是多少？
师：这个问题很有价值，今天我们就一起来研究体积单位之间的进率。
板书课题。
【思考】
奥苏贝尔指出：“影响学习的唯一最重要原因就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”也基于此，上述环节，设计了两个“大问题”：一是“长度单位和面积单位之间的各是多少，你是怎样知道的1平方分米=100平方厘米的”，为什么面积单位的进度是100”；二是“已经学习过哪些体积单位？这些体积单位各有多大”，以此激活了学生原有的认知经验，为新知的学生打下了良好的基础。之后，通过引导学生提出问题“体积单位之间的进率是多少”，让学生带着问题进入本节课的学习。这样的设计，能唤醒学生原有知识经验，激发他们的求知欲望，为知识的顺利迁移蓄满了势、铆足了劲。而且结合学生对“是怎样知道1立方分米=100平方厘米”回忆与交流，老师适时出示直观图示，不知不觉地让同学们感受到“图示法”对探究问题、解决问题的作用。独具匠心的学习方法渗透，为进一步探索“相邻体积单位之间进率是1000”埋下埋下了伏笔。
片断二：任务驱动，在探究中理解
师：（出示下图）同学们，这两个正方体的体积相等吗？
学生议论纷纷，有人抢着发言：我觉得是相等的；不一定，图上没有标明数据，仅靠观察，不能作出判断；如果我们知道正方体的棱长一样，那么体积就相等。
师：通过讨论，大家形成了共识。如果标上数据（出示下图），现在你能判断它们的体积是否相等吗？
师：我们在探索知识时，不仅要知道答案，还要知道为什么这样。你们是想别人告诉你答案，还是自己去探索？
生：我们想自己去探索。
师：非常好！学习是自己的事情，我们一起来探究吧，请看导学单（一）——
学生独立完成，教师巡视。
师：谁来汇报一下自己的研究成果。第一个问题：两个正方体的体积相等吗？为什么？。
生1：棱长相等的正方体体积也相等。第一个正方体的棱长是1分米，第二个正方体的棱长是10厘米。因为1分米=10厘米，所以它们的体积也相等。
生2：还可以这样想：第一个正方体的棱长是1分米，因为1分米=10厘米，所以它的体积是10×10×10=1000（立方厘米）；第二个正方体的棱长是10厘米，它的体积也是10×10×10=1000（立方厘米）。两个正方体的体积都是1000立方厘米，所以它们的体积相等。
师：那怎样推算1立方分米等于多少立方厘米呢？
生：因为第一个正方体的棱长是1分米，因为1分米=10厘米，所以它的体积是它的体积是1×1×1=1（立方分米）；第二个正方棱长是10厘米，它的体积是10×10×10=1000（立方厘米）。又因为这两个正方体的体积是相等的，所以1立方分米=1000立方厘米。
师：谁来说一说刚才我们是怎样研究1立方分米=1000立方厘米的？
生：我们通过观察和计算，发现两个正方形的体积是相等，而且两个正方体的体积既可以用1立方分米来表示，也可以用1000立方厘米来表示，于是，可以推出1立方分米=1000立方厘米。
师：说得真好！谁来猜一猜立方米与立方分米这两个体积单位之间的进率是多少呢？
生：立方米与立方分米这两个体积单位之间的进率是1000。
师：立方米与立方分米这两个体积单位之间的进率也是1000吗？请大家用刚才的方法来完成导学单（二）。
出示：
学生独立完成后讨论交流（板书：1立方米=1000立方分米），明确：相邻的两个体积单位间的进率是1000。
【思考】
本环节中，教师对教材中的例12中的“下面两个正方体体积相等吗？为什么？”进行了巧妙处理。先出示两个没有标明数据的正方体，引导学生观察判断两个正方体是否相等，引发认知冲突，激起探究欲望；接着出示长方体的棱长数据，让学生进行探究学习。同时借助“导学单（一）”，以任务驱动引导学生观察、计算、操作与推理，促使学生自主推出“1立方分米=1000立方厘米”的结论；对于立方米和立方分米之间的进率，则是先让学生借用类比推理提出猜想，再通过“导学单（二）”的提示，自主获得“1立方米=1000立方分米”的结论。这种“尝试为先，问题导学，任务驱动、自主探究”的教与学策略，让学生通过自己的方式理解数学，打通1立方分米与1000立方厘米、1立方米与1000立方分米之间的联系，并在同化与顺应中建立起“相邻体积单位之间的进率是1000”的概念结构。
片断三：沟通中联系，在梳理中建构
师：谁来说说“相邻两个体积单位”中的“相邻”是什么意思？
生：相邻就是指两个体积单位是靠在一起的，中间不能“跳”。
生：我也是这样认为的，比如不能说1立方米等于1000立方厘米。
师：如果不是相邻的两个体积单位，比如 1立方米等于多少立方厘米，它们之间的进率是多少呢？你会推算吗？
学生推算，师生共同评价。
师：上课一开始，我们一起回顾了长度单位、面积单位之间的进率关系，现在又学习了体积单位的进率，你们能比较它们有什么不同吗？
出现：
生1：相邻两个长度单位之间的进率是10，比如1米=10分米，1分米=10厘米，1厘米=10毫米。
生2：相邻两个面积单位之间的进率是100，比如1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，1平方厘米=100平方毫米。
生3：相邻两个体积单位之间的进率是1000，比如1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米。
根据学生回答，相机完成下面的表格：
师：刚刚我们用表格整理了常用长度、面积、体积单位，以及它们之间的进率。其实，我们还可以通过关系图来表示它们之间的进率关系（出示下表第一行）。谁来说一说，第一行表示的什么意思？
根据学生回答，逐步完成下面的示意图：
教师小结，并出示“试一试”，让学生独立完成，然后组织交流。
【思考】
本环节中，教者并不满足于本节课重要的知识点1立方分米=1000立方厘米、1立方米=1000立方分米，而是把这些知识与之前学的长度单位、面积单位的进率进行纵向联系与横向比较，突出“相邻两个长度单位之间的进率是10，相邻两个面积单位之间的进率是100，相邻两个体积单位之间的进率是1000”。这样就把新知很好的纳入到原有的认知结构中。整节课，教者一如继往地把孩子放在“课堂学习的中央”，站在教材纵横联系的高度，整体性把握课堂进程，真正做到了知识的结构化和融通化。
数学就是一门研究数量之间关系的科学。要让学生学会学习，教师一定要抱着求真求实的态度，用系统化、结构化的思维方式来解读教材、组织学生的学习进程，唤起学生原有学习经验，并努力盘活这样经验，进而为迁移而教，为理解而教，为关系而教，为结构而教，引导他们在掌握知识和方法的同时，不断完善认知结构，获得良好的数学素养。