原创：正方体中的精妙小结论

一位读者朋友问到下面的问题.

左老师，你好.

下面这道题答案虽然可以用特殊位置法很快的猜出答案.

可我无论用向量法（易得到表达式但难求取值范围）还是传统几何法都感觉不好解释为何答案是三分之根号六到一.

你有好方法能解释下吗？谢谢.

回复的分界线

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这位读者的意思大约是，不想用特殊值法，希望看到完整的推导过程.

如果没有空间想象能力，建立空间直角坐标系是“无脑解法”.

如果具备一点空间想象能力，本题用几何法解起来更快.

1

正方体的体对角线垂直于与它异面的面对角线

如上图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1为体对角线，A1B、BD、A1D为面对角线.

正方体中有一个优美结论：

正方体的体对角线和与它异面的面对角线垂直.（有兴趣的读者朋友可尝试推导，并不复杂）

显然，本题中的体对角线AC1和三条面对角线A1B、BD、A1D都是异面的.

所以，直线AC1垂直于A1B，直线AC1垂直于BD，直线AC1垂直于A1D，故AC1垂直于平面A1BD.

2

将垂线平移到指定位置

通过（1），我们找到了平面A1BD的垂线.

但是，我们要求的是OP与该平面所成的角.

也就是说，该垂线并不在指定位置.我们需要对它进行平移.

平移的手段是——用中位线进行平移.

连接AC，则它与BD必相交于点O.

再取CC1的中点E，连接OE.

因为OE//AC1，所以OE也垂直于平面A1BD.

3

线面角转化

因为OE垂直于平面A1BD，所以OP与平面A1BD所成的角和OP与OE的夹角互余.

也就是说，所求的线面角α的正弦值等于∠POE的余弦值.

下面画出矩形ACC1A1.

故答案选B.

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参考阅读：一顿火锅钱，搞定高考圆锥曲线大题