数学的起源（下）
本文结合数学史和人类文明史谈数学的起源。
2、运算关系的产生历史
不同的民族都需要数字，需用数字来表达，在现实生活中常会涉及数字之间的数量关系。比如军营里面现有一个营的兵力，然后又有人来参军，又来了一个营零一个连的兵力，那么我们一共有多少兵力？这样的数量关系怎么描述呢？再比如现在军营里面有三个营的兵力，需要分出去两个营给别人，怎么分？于是现实生活中就产生了加法和减法。涉及要把一些东西和到一起测量总数的时候就产生了加法，涉及要从一个总的数字当中分一些东西出去，就产生了减法。在人类最早的文字记载中，加减运算是最早掌握的两种数学运算。我国古代比较注重利用工具来做计算，用算筹或者算盘来做加减法，记录时用的是文字表达。在现实当中因为有需求，才产生了各种各样的运算。从根本上说，人类一般是不干傻事的，总是产生对人类有用的东西。
算筹
有人问为什么三加二等五，实际上这个问题没有什么好问为什么的，这些关系就是确定的。如果探讨缘由的话，这不是纯数学的推理能解释的，而是一个哲学、历史、社会学的问题。就是因为算术的结论是在人类几百年、几千年的社会实践过程中积累、归纳、总结下来的，它们逐渐凝在人们意识中固定了下来，在符号的语言中固定了下来，以及在实际的应用中固定了下来。比如三个和两个放在一块就是五个，两个和三个放在一块也是五个（这最终还总结出了加法结合律），任何时候、任何地方都是这样。当然现实中也有时候不是这样，比如三升水和两升酒精加在一起就不是五升，但是，数学的模型、数学的抽象舍弃了这些特殊的情况而抓一般的情况。当然，在现实应用中是需要认清前提的，否则会闹出笑话。
那现实生活中为什么要产生乘法呢？我们可以想一想，如果我们要一些东西加起来，比如3+3+3+3+3；使用加法很容易得到3+3+3+3+3=15，能得到对应的结果。假如有五十个“3”相加呢，那我们需要3+3+3+……，这样太麻烦了。为了简化起见，人们用一种新的方式来表达它，也就是“5*3=15”。同理，除法是怎么产生的呢？一个数按照相等的关系能减出来多少倍，比如十除以三等于三余一，意思就是十按照三个等分这么分的话，只能分出三个等分来，最后剩下一等分。
加减乘除运算关系，都是小学最基本的东西。问题的根本在于是否知道它的来龙去脉，就是它到底是怎么来的，到底是什么意思。
3、分数、小数、负数、无理数的产生历史
我们讲数学，讲“数”，数最先产生的是自然数，就是“1、2、3、4、5、6、7、8……”，一直往下数下去就是自然数。而后又加入了“0”，“0”和那些自然数，形成了最初的整数的概念（注：负数产生后，整数的概念中又加入了负整数）。再后来又出现了分数的概念，甚至还出现了小数的概念。分数的概念很简单，比如说妈妈烙了一个饼，家里有三个孩子，于是把这个饼分成三份，然后分给每个孩子，这时候就需要表述：每个孩子吃了多少呢？哦！一个孩子吃了三分之一。妈妈一想，还得给你们爸爸留一份，拿刀在这个饼上切了个“十字”，分成了四块。这时一块饼就变成四份了。而后妈妈再一想，我自己还没吃呢，就可以把这个饼分成五份。这里就涉及三分之一，四分之一，五分之一。从这里可以发现，一个整体要分成若干份，我们原来了解的整数的概念随着生产生活的发展逐渐不够用了，在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，于是就产生了分数的概念。
小数又是如何产生的呢？一些实用的计量单位多采用十进制计数法，由此也就产生了十进分数，也就是小数。小数的产生较负数晚，第一个将这一概念提出的是魏晋时代的刘徽，他在计算圆周率的过程中，用到了尺、寸、分、厘、毫、秒 、忽7个长度计量单位，对于忽以下的更小单位则不再命名，统称为“微数”。在早期小数可视为是分数的一种变形的表达形式。有的是一种准确的表达，有的则是一种近似的表达。比如，当我们描述三分之一的时候，三分之一是一个准确的概念，而0.333333……不管后面有多少个3，都是不准确的。但不管怎么说，我们现实生活中有了小数也行。比如说，分了一块饼的三分之一，这个说法很准确；说分了0.3333块饼，虽然有点近似，但是也能理解它的意思。因此小数也有小数的意义。于是我们的加减乘除运算，也可以把分数和小数加进去。
人们在生产生活实践中，为了表示相反意义的量，如钱粮亏损、材料欠缺、负债等情况，将其用数学符号来表达，就产生了负数。在中国公元一世纪的《九章算术》中，就最早提出了正负数加减法的法则。整数、分数、小数，加上负数，就构成了我们今天所说的有理数。
九章算术
有了有理数，我们再看无理数。无理数的产生也是很早的，但它被人们真正接受却是比较晚的。早在公元前470年左右的古希腊，毕达哥拉斯学派的学员希帕索斯发现边长为1的正方形对角线长度不能用整数之比的形式来表达，打破了毕达哥拉斯学派“任何数都可以写成两个整数之比”的信条。这个长度的值其实就是后来说得无理数，然而希帕索斯本人却因此被惊恐无比的毕达哥拉斯学派其他成员投入大海。随后，数学家们陷入了对这个问题的长期的争论中，这就是第一次数学危机。但是真理是掩盖不了的，毕达哥拉斯学派抹杀真理才是“无理”，人们为了纪念希帕索斯，把这样的量称作“无理数”，无理数最终还是被人们认识到并且影响了随后整个数学的发展。
希帕索斯
在数的范围在不断扩展的同时，计算领域内也产生了很多新的运算。在计算体积的过程中产生了乘方的概念，如一个正方形加上一个高变成正方体，相同的量三次相乘，就构成了三次方。产生了乘方，自然，也就要产生与之相反的开方的概念。
随着我们现实中需要解决的数量关系越来越复杂，运算关系也变得越来越丰富，数的表现方式也变得越来越丰富。前面所说的有理数和无理数统称为实数，后来又有了虚数的概念。与整数、分数等不同的是，虚数不是在自然科学或技术方面的推动下产生的，而是产生于数学本身内部产生的抽象的数学体系，但在后来也产生了极有价值的应用。
4、复数的历史
虚数究竟是如何产生的？在中学的教科书中，出于中学知识所限，将其解释为为了让方程x^2+1=0有解而引入了虚数i。但在历史中，复数是在一些数学家求解三次方程的过程中，发现结果中会出现对负数的开方，于是这个时候提出了虚数。可以说，复数正是在代数方程的求解中产生的。在古希腊时期，丢番图的《算数》中就已经记载了一元二次方程在时的情形，但当时丢番图没有考虑这种方程是否有解。直到16世纪，三、四次方程的求解中才出现了复数。意大利学者卡尔丹在塔塔利亚的基础上推出了一般三次方程的解法。但在求解的过程中，出现了不可约的情形，这时负数会被开方。然而这是当时的欧洲人无法接受的，因为负数的出现本身就难以接受了（欧洲人为什么难以接受负数，这也是一个与社会学文化学相关的有意思的问题），更别说给负数开方。之后，又有意大利数学家邦贝利引入了复数，但他本人觉得复数是神秘而无用的东西。法国数学家笛卡尔也将困惑数学家的“虚无缥缈”的东西命名为“虚数”。
但是在19世纪初，数学家给出了复数的几何解释。也就是用一个十字坐标，把一个称之曰虚轴，一个称之曰实轴，构成一个平面，实数和虚数走到一起构成了一个复数，写成a+bi的形式，而这个平面就是复平面（如下图）。而这个和向量即既有大小又有方向的量就可以对应起来了。在此基础上，将a、b换成变量x，y，并由此建立了复变函数。
后来人们又逐渐发现复数的理论体系在解决很多现实问题是很好的工具。在流体力学中，比如对于一条河流，中间有一根木头挡住了一部分水流，那么对于木头两侧的水流，虽然距离很近，甚至可以忽略，但是两边水流的速率、方向却相差非常大，必须要绕过木头才能建立起相应的关系。把这个现象用一个模型来表达（如下图），发现它和复平面上复变函数的性质非常相似。也就是，对于复平面上这样一个区域，中间被部分隔断，在被隔断处两侧，虽然距离非常小，但是函数在这两端的性质相差非常大。
因此，人们开始越来越相信复数的产生在数学中是有着非常重要的意义的。