由不等式ex≥x 1产生联想

安徽省太湖中学(246400) 李昭平 赵娟娟

恒成立不等式ex ≥x+1(x ∈R)内涵丰富、结构精巧、应用广泛，许多高考题都有它的影子.下面是笔者对其分析、思考和研究的结果，供参考.

1.对ex ≥x+1 的证明

证法1 (图象法)在同一坐标系下作出函数f(x)=ex 和g(x)=x+1 的图象，两图象均经过定点(0,1)，且f′(0)=1，即直线g(x)=x+1 是曲线f(x)=ex 在定点(0,1)处的切线，因此ex ≥x+1(x ∈R，当且仅当x=0 时等号成立).

证法2 (导数法)令f(x)=ex-x-1，则f′(x)=ex-1.显然f(x) 在(-∞,0) 内单减，在(0,+∞) 内单增，因此f(x)mⅰn=f(0).于是f(x)≥f(0)=0，即ex ≥x+1(x ∈R)，当且仅当x=0 时等号成立.

2.对ex ≥x+1 的联想

联想1 ex-x ≥1，当x=0 时，(ex-x)mⅰn=1.

联想2 ln x ≤x-1(x ＞0)，当且仅当x=1 时等号成立.

简证 在ex ≥x+1 中，将x 换为x-1 得，ex-1 ≥x，ln ex-1 ≥ln x，即ln x ≤x-1(x ＞0)，当且仅当x=1 时等号成立.

联想3

由ln x ≤x-1(x ＞0)易得，略去简证.

联想4 ex ≥ex，当且仅当x=1 时等号成立.

简证 在ex ≥x+1 中，将x 换为x-1 得，ex-1 ≥x，ex-1·e ≥ex，即ex ≥ex，当且仅当x=1 时等号成立.

联想5 ln x ≤

当且仅当x=e 时等号成立.

简证 在ln x ≤x-1 中，将x 换为

当且仅当x=e 时等号成立.

联想6

简证 由ex ≥x+1 得，ex - 1 ≥x.当x ＞0 时，

1;当x ＜0 时，

联想7 eg(x)-ln h(x)≥g(x)-h(x)+2.

简 证 由ln x ≤ x - 1 得，ln h(x) ≤ h(x) - 1，即-ln h(x)≥-h(x)+1.

由ex ≥x+1 得，eg(x) ≥g(x)+1.

两个不等式相加得，eg(x) - ln h(x) ≥g(x) - h(x) +2(h(x)＞0)，当且仅当g(x)=0 和h(x)=1 同时成立时，取等号.

3.ex ≥x+1 和几个联想的应用

上述不等式ex ≥x+1 和7 个联想的结构形式，在近些年来的高考和模考中常常出现.对于一些客观题，若能灵活运用，可以大大提高解题速度;对于一些主观题，有时能为解题提供思路和方向，有时又能切实解决问题.下面举例说明.

3.1 运用ex ≥x+1

例1 (2019 三亚市模考题)若对任意实数x ＞0，不等式tx+ln x+1 ≤xe3x 恒成立，求实数t 的取值范围.

解析 因为x ＞0，所以不等式tx+ln x+1 ≤xe3x 恒成立等价于t ≤

即t ≤

而xe3x-ln x-1=elnx+3x-ln x-1.

由ex ≥x+1(x ∈R) 知，elnx+3x ≥ln x+3x+1，当且仅当ln x+3x=0 时等号成立，因此

当且仅当ln x+3x=0(存在x)时取最小值3.于是t ≤3，即实数t 的取值范围是(-∞,3].

说明 本题是将不等式ex ≥x+1(x ∈R)中的x 换为ln x+3x.若换x 为f(x)，则可以一般化为ef(x) ≥f(x)+1，扩大了应用范围.

3.2 运用(ex-x)mⅰn=1

例2 (2020 合肥市模考题)已知不等式ex ≥x+a-3对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值是____

解析 ex ≥x + a - 3 等价于a - 3 ≤ex - x，即a-3 ≤(ex-x)mⅰn=1.因此a ≤4.故a 的最大值是4.

3.3 运用ln x ≤x-1(x ＞0)

例3 (2019 海口市模考题)方程ln(x+2)= x+b 在(-2,+∞)内有唯一实数根的充要条件是( )

A.b ≤-1 B.b ≥1 C.b=-1 D.b=1

解析 由不等式ln x ≤x-1(x ＞0) 得，ln(x+2) ≤x+2-1，当且仅当x+2=1，即x= -1 时取等号.因此ln(x+2)=x+b 在(-2,+∞)内有唯一实数根的充要条件是x+b=x+2-1，即b=1.故选D.

说明 本题是将不等式ln x ≤x-1(x ＞0)中的x 换为x+2.若换x 为g(x)，则可以一般化为ln g(x) ≤g(x)-1，扩大了应用范围.

例4 (2020 济南市模考题)若函数f(x)=x(ln x-mx)只有一个极值点，则实数m 的值是____

解析 因为f′(x)=ln x-2mx+1，所以ln x=2mx-1有唯一正的实数根，即曲线y=ln x 和直线y=2mx-1 在右半平面内有唯一交点.

由ln x ≤x-1(x ＞0) 可知，直线y= x-1 为曲线y=ln x 在(1,0)处的切线，因此2m=1,m=

3.4 运用

 ＞1(0 ＜x ＜1)和

 ＜1(x ＞1)

例5 (2017年高考全国Ⅱ卷) 已知函数f(x)=ax2-ax-x ln x，且f(x)≥0，求实数a 的值.

解析 函数f(x) 的定义域是(0,+∞).因为f(x)=x(ax-a-ln x)，所以f(x)≥0 等价于ax-a-ln x ≥0，即

ln x ≤ax-a.

当x ＞1 时， a ≥

由于

且

因此a ≥1.当0 ＜x ＜1 时，

由于

因此a ≤1.当x=1 时，等号成立，a ∈R.

综上可知，实数a 的值是1.

3.5 运用ex ≥ex

例6 (2018 安庆市模考题)若函数f(x)=x ln k-ex 有零点，则实数k 的取值范围是( )

A.(

,+∞) B.[

,+∞) C.(0,e) D.(0,1)∪[

,+∞)

解析 因为f(x)= x ln k - ex 有零点，所以方程x ln k=ex 有实数根.显然x=0 不是其根，因此ln k=

因为ex ≥ex，当x ＞0 时，ln k=

解得k ≥

.当x ＜0 时，ln k=

＜0，解得0 ＜k ＜1.因此实数k 的取值范围是(0,1)∪[

,+∞)，故选D.

3.6 运用

＞1(x ＞0)和

＜1(x ＜0)

例7 (2018年高考全国Ⅲ卷)设函数f(x)=ex-ax-1，其中a ∈R.若f(x)≥0 在(-∞,+∞)内恒成立，求a 的值.

解析 f(x) ≥0 就是ax ≤ex-1.当x=0 时，等号成立，a ∈R.当x ＞0 时，a ≤

由于

＞1(x ＞0)且

因此a ≤1.当x ＜0 时，a ≥

由于

因此a ≥1.综上可知，实数a 的值是1.

3.7 ln x ≤

(x ＞0)和ex ≥ex 混用

例8 (2018 南昌市模考题) 设a ∈R，函数f(x)=ln x-ax.

(Ⅰ)试讨论函数f(x)在定义域上的单调性;

(Ⅱ)证明: 对任意x ＞0，ex-e2 ln x ＞0 恒成立.

解析 (Ⅰ)当a ≤0 时，f(x)在(0,+∞)内单增;当a ＞0时，f(x)在(0,

)内单增，在(

,+∞)内单减.过程略去.

(Ⅱ)因为ln x ≤

(x ＞0)，所以-e2 ln x ≥-e2·

-ex，当且仅当x=e 时等号成立.又因为ex ≥ex(当且仅当x=1 时等号成立)，所以ex-e2 ln x ＞ex+(-ex)，即对任意x ＞0，ex-e2 ln x ＞0 恒成立.

例9 (2014年高考全国Ⅰ卷)设函数f(x)= aex ln x+

曲线y= f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线方程是y=e(x-1)+2.

(Ⅰ)求实数a,b 的值;(Ⅱ)证明: f(x)＞1(x ＞0).

解析 (Ⅰ)a=1,b=2.过程略去.

(Ⅱ)f(x) ＞1(x ＞0)就是ex ln x+

＞1(x ＞0).因为

所以

即

于是

又因为ex ≥ ex，所以当x ＞ 0 时，

即

当且仅当

且x=1 时取等号，所以ex ln x+

中的等号不可能成立.故f(x)＞1(x ＞0).

3.8 运用eg(x)-ln h(x)≥g(x)-h(x)+2

例10 (2020 漳州市模考题)若曲线f(x)=e3-2x 与曲线φ(x)=ln(λ-2x)+1 有唯一公共点，则实数λ 的值是

解析 由题意知，问题转化为方程e3-2x=ln(λ-2x)+1有唯一实数根.由eg(x) - ln h(x) ≥ g(x) - h(x)+2得，e3-2x - ln(λ - 2x) ≥ (3 - 2x) - (λ - 2x)+2，即e3-2x - ln(λ - 2x) ≥5 - λ，1 ≥5 - λ， λ ≥4.当且仅当3-2x=0 和λ-2x=1 同时成立时，取等号，即λ=4时取等号.故实数λ 的值是4.

例11 (2013 全国Ⅱ卷题) 设m ∈ R 函数f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ)设x=0 是f(x)的极值点，求实数m 的值，并讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)当m ≤2 时，证明: f(x)＞0.

解析 (Ⅰ)m=1，f(x)在(-1,0)内单减，在(0,+∞)内单增.过程略去.

(Ⅱ)由eg(x)-ln h(x)≥g(x)-h(x)+2 得，ex-ln(x+m) ≥x-(x+m)+2，即ex-ln(x+m) ≥2-m，当且仅当x+m=1 且x=0，即m=1 时等号成立.因为m ≤2，

当m/=1 时，ex-ln(x+m)＞2-m ≥0(x+m ＞0);当m=1 时，ex -ln(x+1)=2-m=1 ＞0(x+1 ＞0).因此当m ≤2 时，有f(x)＞0 成立.

以上从不等式ex ≥x+1 出发，通过联想、探究、推证获得7 个结论，并在恒成立不等式、能成立不等式、函数零点、方程的根、不等式的证明等问题的应用中，深化了对ex ≥x+1及其联想的认识与理解.由此可见，不等式ex ≥x+1 及其联想结论，拓宽了我们的解题路径，其核心是指数型不等式ex ≥x+1 和对数型不等式ln x ≤x-1(x ＞0)，解题的灵感来源于经验的积累和方法的感悟，让我们成为发现者.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京: 人民教育出版社，2017.

[2] 李昭平.透视导数法处理函数问题中的分类讨论[J].中学数学杂志(高中版)，2019(3).

[3] 李昭平.定曲线与动直线[J].中学数学研究，2018(12).