推导一元二次方程求根公式的两种新方法

一元二次方程求根公式是初中数学中的重要公式，现行义务教育初中数学教材都是采用配方法来推导一元二次方程的求根公式。本文从一元三次方程和一元四次方程求根公式的推导方法中受到启发，反过来将其应用于一元二次方程，得到了另外两种推导一元二次方程求根公式的方法，其中换元法似乎比配方法还要来得简单和易理解。下面我就来给大家介绍一下这两种新的方法，作为配方法的补充，供大家参考使用。

1 换元法

对于一般形式的一元二次方程：

因为，我们令

则

当时，有：

从而得到一元二次方程的求根公式：

通过换元（令），我们发现的一次项消失了，从而将一般形式的一元二次方程转化为了（其中）的形式。这种转换叫做契尔恩豪森转换。

契尔恩豪森是德国的代数学家，对于一般的首1的n次多项式方程

通过契尔恩豪森的变量代换，再使用二项式定理展开就可消去项，从而得到首1的n次简化方程。

2 根与系数法

说到根与系数的关系，大家马上就会想到韦达，没错，根与系数的关系也被称为韦达定理。韦达定理是说：如果方程有两个实数根，那么。

在北师大版九年级上册数学教材中，是先有求根公式，然后推出根与系数的关系。事实上，我们可以先用其他方法导出根与系数的关系，然后再用根与系数的关系反推出求根公式。这个方法是由法国数学家范德蒙发现的。设一元二次方程的两个根为，那么

将右边展开得

从而

比较两边系数得：

即

你看，我们没用求根公式就导出了根与系数的关系。下面再来看看是如何用它来导出一元二次方程求根公式的。

由于

而

如果，那么

代入（*）式即得求根公式

范德蒙对方程解的洞悉在于把方程的每一个根用方程的所有根表出，使之成为根的一个对称表达式，而这个对称表达式则可以利用韦达定理用方程的系数表示，从而得到求根公式。利用这个思想可以导出了三次方程和四次方程的求根公式，不过过程要复杂得多。

参考文献

[1]结城浩. 数学女孩5：伽罗瓦理论. 陈冠贵，译. 北京：人民邮电出版社，2021.

[2]冯承天. 从一元一次方程到伽罗瓦理论（第二版）. 上海：华东师范大学出版社，2019.