介绍一种黎曼积分的推广 — 刻度积分
我们在大学数学分课程里学到了黎曼积分，在实分析课程里则学习了勒贝格积分。引入勒贝格积分是因为黎曼积分的不足，无法处理一些更复杂的空间和函数。其实还有一类积分也是为了克服黎曼积分的不足而引入的。至今仍然有人号召在大学数学分析里取代黎曼积分。这个积分就叫做刻度积分（Gauge Integral）。对数学分析中的 ε–δ 技巧不熟悉的读者可以当作一种练习的机会。
1. 刻度积分的定义
刻度积分的正式名称为 Henstock–Kurzweil 积分，也称为 Luzin 积分、Perron 积分，有时为了和广义 Denjoy 积分区别而称为（侠义）Denjoy 积分。刻度积分最早是由二十世纪初法国数学家阿尔诺·当茹瓦（Arnaud Denjoy，1884－1974）引进的。他在研究形似
的函数时，将黎曼不可积的点分为若干种情形，给出了一个过于繁琐的定义。苏联数学家尼古拉·卢津（Nikolai Luzin，1883－1950）使用类似绝对连续的方式给出了另一种等价定义；德国数学家奥斯卡·佩隆（Oskar Perron，1880－1975）也给出了一种等价的定义。1957 年，捷克数学家雅罗斯拉夫·库兹韦尔（Jaroslav Kurzweil，1926－）给出了一种与黎曼积分的定义比较相似的比较优雅的定义。库兹韦尔称之为“刻度积分”（Gauge Integral）。而后英国数学家拉尔夫·亨斯托克（Ralph Henstock，1923－2007）则发展并完善了这种积分理论。基于这两位数学家的贡献，现今一般将这种积分称为 Henstock-Kurzweil 积分。
任给一个区间 上的分割（所谓的刻度）：
,
和一个正函数 ，如果对一切的 ，都成立
那么就称这个分割是一个 -精细分割。
我们说数值 是函数 在闭区间上的 Henstock-Kurzweil 积分，当且仅当对于任意的 ，都存在刻度函数 ，使得对于任意的 -精细分割 , , , 及 ，都有
比较黎曼积分和 Henstock-Kurzweil 积分的定义，我们看到，黎曼积分中，只将分割的小区间的最大长度作为精细度的标准。Henstock-Kurzweil 积分的定义中引入“刻度”函数，并将取样值和刻度函数联系起来。如果将刻度函数 设定为常值函数，那么 Henstock-Kurzweil 积分就退化为黎曼积分。
2. 一个简单的例子
让我们来看一个简单的例子。就用上面提到的被积函数 ，我们将证明 。这个函数在 时必须特别定义。我们定义 。任给一个 ，让我们定义一个在 上的 ：
对于一个给定的 -精细分割，我们来证明
事实上，因为
，我们有 ，进而 。于是
让我们暂时假定 。我们得到
所以，. 同理，除了 外，. 于是有 ，因为 位于 和 之间。所以
当 时，
现在我们来看 。我们有
由此我们得到 .
3. 刻度积分的性质
与黎曼积分相同，刻度积分具有很好的性质。
性质 1. 假定 是一个在 上的刻度可积函数且 。那么，它也是在 上和 上的刻度可积函数，并且成立着
性质 2. 假定 和 都是在 上的刻度可积函数且 是两个实数。那么，
性质 3. 如果 是黎曼可积的或勒贝格可积的，那么它也是刻度可积的。
性质 4. 在下式中，如果左边或右边存在，那么有
此性质对下限也成立。
刻度积分也可以定义到 上去。
4. 结束语
Henstock-Kurzweil 积分是黎曼积分的推广。甚至 上所有的勒贝格可积函数也都是 Henstock-Kurzweil 可积函数。但是大多数微积分课本和实分析课本都选择了回避 Henstock-Kurzweil 积分。一方面从上面的简单例子我们看到， 的选取技巧性比较强，这对于在学习黎曼积分中已经感到难度的学生来说无疑更是过于挑战。更重要的是，Henstock-Kurzweil 积分没有像勒贝格积分那样引入测度的概念，所以不能推广到一般测度空间，而在数学研究中，空间的选取比可积函数的选取更为重要。
参考文献
Eric Schechter, An Introduction to The Gauge Integral, https://math.vanderbilt.edu/schectex/ccc/gauge. https://en.wikipedia.org/wiki/Henstock%E2%80%93Kurzweil_integral.