孙维刚数学最优学习法

 我曾仔细读过已故特级教师孙维刚老师的书，书里孙老师谈到如何在教学中利用结构教学法，让学生在学习中学会举一反三、融会贯通。孙老师的学生们学习灵活性都很强，也都有很强的自学能力。孙老师带的班成绩都好得惊人，最好的班有全班55%的同学考上清华北大，其余全是一类本科，更难得的是他从不布置课后作业，即使高三学生也能保证每天睡到8个小时以上，这简直不可想象，但是我们敬爱的孙老师，他做到了！

在构建知识结构的过程中，我意识到如果能巧妙利用知识结构进行教学，将使教学效率大大提高，会有效减轻学生的课业负担，而且学生能保持优良的成绩——这是我一直孜孜不倦梦寐以求的。因自身水平有限，还需要进一步学习，我想借这次机会好好来谈谈我研读孙老师的结构教学法的收获，好好研究一下如何灵活运用知识结构教学法来提高学生的学习效率，与各位教师，各位家长，各位同学共同学习和探讨，让同学们达到轻松学习，快乐学习的美好境界，使学生真正有时间进行丰富多彩的课外活动，除了文化课的学习，还能参加更多的体育，艺术，社会活动，使学生们健康快乐地成长。

    孙老师在课堂上的魅力案例很多，在这里无法一一叙述。我想把我仔细研读孙老师的书的收获和感受，以及孙老师的结构教学法的优点，其中最值得学生们学习的一些经验以要点的形式总结出来，如果有不妥之处，恳请有识之士斧正。孙老师的结构教学法主要有以下几点经验非常值得学生们学习。

1、学会找知识的新旧联系。

许多知识都是互相联系的，比如高中时要学的余弦定理，你就应该明白勾股定理就余弦定理的一个特例。找到新旧知识的联系，那么数学就变得简单多了。

课堂上老师常会重复以前的知识，这时候你应努力找到新旧知识的联系，这样学习数学就变得简单而有趣了。就像华罗庚说的，读书应有个过程——先把书读“厚”，再把书读“薄”，也就是说要善于总结规律。

孙老师则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：

（1）每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；

（2）在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；

（3）在系统中进行教学。孙老师认为这种做法所起到的作用是：“使学生发现知识之间既盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌的一张网，而不再是一堆杂乱无章的瓦砾和一片望而生畏的戈壁滩。”

孙老师的教学方法被称为“结构教学法”，讲究新知识和旧知识的比较与联系。他并不担心学生的脑子够不够使，因为教师的任务就是造就学生发达的脑子。在他的课上，基本上是先出题，写出公式，然后让学生讨论，上黑板演示，老师在一旁点拨，让学生学会寻找规律。

比如在教三角形内角和定理的证明时，课本上只是延长三角形底边并做出一边的平行线，引导学生做出证明。而孙老师则把问题交给学生，上来就让学生猜想三角形内角和是多少，再让学生提出自己的证明。几种证法出来后，孙维刚再问：“那么多边形内角和是多少？”学生答：“(n-2)180°。”“怎么证？”学生们踊跃举手，把几种证法写在黑板上，然后，由孙老师做总结，提到了证明所用的就是数学归纳法的思想。数学归纳法是高二才接触的内容，在初一教学中就涉及了，学生接受得了吗？当然，孙老师并不指望学生能一下子就理解和掌握数学归纳法，而只是抓住时机对教材结构进行调整，有关知识和方法先“闪现”一下，做个埋伏，做个铺垫，以后还会“再现”，以激发学生的求知欲望，培养他们的探索精神。

孙老师花费不知多少不眠之夜，设计，编写的“结构教学”和配套教材，取得了极大的成功。“结构教学”使学生成了课堂的主人，课后没有硬性的、繁琐的家庭作业，上课超前学一步，下课更轻松。他的“结构教学法”，注重新旧知识的比较与联系，用他的话说是“八方联系，浑然一体；漫江碧透，鱼翔浅底。”……六年的课程三年学完，学生接连在各种竞赛中获奖。在他看来，生源的差别不应该成为影响教育成果的首要因素，只要方向对头，方法得当，我们的教育对象都能成为栋梁之才。

2、听讲要专心，专心的标准是什么？

是精神集中，不走神吗？

孙老师觉得这不是一个好的回答，只把精神集中到老师的讲授内容上，很可能是跟在老师的后面亦步亦趋，学生的思维即使在活动，也只是处在被动的状态。

孙老师的建议是：一个命题提出来了，自己先试着去判断它的真假；一个定理或公式写出来了，自己先试着去证明它；一个例题写出来了，自己先试着分析、解出它。甚至在学习进程中自己设想，该提出什么命题了，该定义什么概念了，让思维跑在老师的前面。如果达不到大幅度的超前，也要设想讲课的老师正在进行的推理的这句话的下一句会是什么。

孙老师在每届的数学教学中，要求学生做到如下几点：

（1）几乎每道例题、每个定理、每个公式都是引导学生自己动手完成的。

（2）在课堂上要创造条件，造成学生总是想在老师前面、向老师(包括课本)挑战的氛围，让学生在思维运动中训练思维。让一个个学生到前面来讲，促进了学生之间聪明才智的相互传染。

（3）从数学学科特点出发，在知识上指导学生注意追根究底，寻找知识之间的联系和规律，在比较中学习新知识，站在哲理的高度思考问题，注重联想。

（4）在解题中指导学生一题多解，多题归一，多解归一，归纳共性，分离个性，并总结出了一套科学有效的解题规律。

（5）提倡和指导学生开展问题研究，练习写论文、写总结。

（6）不能忽视回顾总结工作，学生完成作业后，要回顾、总结、反思，只有掩卷反思才会有所发现和优化。

（7）世上不存在没有“为什么”的事物，凡事需问“所以然”。知其然，更知其所以然，凡事都要问一个为什么。鼓励学生勇于探索大胆创新，各抒己见，展开争论。

孙老师认为：老师给学生讲题，如果只把题目的解法过程一步一步讲清楚，哪怕再细致明白，而讲不出这些解法步骤是怎么想出来的，对提高学生的解题能力，效果是不大的，甚至起消极作用。要讲清楚自己当时的心绪和想法，在笨拙中学会反思，学会提出问题解决问题。

3、学习的四种基本能力组成了学习的基本模型。

孙老师训练学生，一要“敢”提问题；二要“会”提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。别人要花一个月，他们仅用三个半天便讲完了高中数学的118个公式。初中三年便提前学完了高中的全部数学课程，而且还增加了许多课本上没有的内容和部分大学的数学课程。初二上到一半，便可以优异的成绩答完前一年的高考数学试卷。

而孙老师的学生的成绩，总是和“付出”之间有一道“不等式”：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。

 孙老师到底靠什么呢？

　孙老师说：“我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。”

　　在孙老师的书橱里，有一摞大硬皮本，共有二十二个（但这只是其中一部分）。上面画着三角、圆锥等各种几何图形，旁边则是密密麻麻的解题笔记。 孙老师每出一道题，自己要先做上10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的，让学生在课堂上讨论，不用预习，不留作业。学生在讨论中感受到学习数学的乐趣，下课自己就会把找题解题当做一种乐趣。这就是孙老师教学成功的秘诀。

　　孙老师为学生开创了解题的“三级跳”：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。

心理学研究可以证明，孙老师的结构教学法是有理论支持的。心理学研究发现：学优生和学差生的知识组织是不一样的。学差生头脑中的知识是零散的和孤立的，呈现水平排列方式、列举方式，而学优生头脑中的知识是有组织和系统的，知识点按层次排列，并且知识点之间有内在联系，呈现出一个层次网络结构。可见如果知识在头脑中无条理地堆积的话，那么知识越多，越不利于问题的解决，就像是进入图书馆借书一样，当书按一定顺序整齐地排列着，那么书会很容易找到；但书如果无顺序、杂乱无章地堆放着，我们就很难找到需要的书。

有些家长会说自己孩子上课听讲很认真，也挺聪明，但就是考试不出成绩，上课听得很会，就是不会做题。这到底是什么原因呢？ 其实这就是知识零散造成的结果。

结构乃是决定事物性质的重要因素。知识的作用，主要不是知识量的作用，而是合理结构的作用。在知识的应用、解决问题的过程中，并非独立的“某个单项知识”，而归根到底是整个知识结构在起作用。

学生学习课内外知识、获取信息，将这些知识、信息进行有目的的加工整理，即把个别的、零散的、无规律的知识、信息，进行分析、归纳、筛选，按其内在联系，分门别类，纳入相应的“知识库”中，使之结构化、系统化，形成网络。这样，运用时可以准确、迅捷地从“知识库”中提取有效的知识信息解决问题，吸收新知识、信息，进而掌握《大纲》中应掌握的知识，形成《大纲》中应形成的能力。对知识信息进行加工整理，并纳入相应的“知识库”，使之结构化、系统化，形成“知识网络”，简而言之：整理知识。这是建立合理的知识结构的关键环节。它实际上包含这样的两个方面：

（1）知识门类化，即对所获取的个别的、零散的、无规律的知识信息进行加工、筛选、并按其内在联系分门别类：

（2）知识结构化，即将门类化的知识、信息纳入“知识库”中，使之结构化、系统化，形成知识网络。

 合理的知识结构可以在运用时，快速、准确地提取有效的知识。—个人是否真正把知识学到手了，要用“运用”来检查。如果学了许多知识但不能在“运用”中表现出来，所贮存的知识不能根据需要成为进一步学习和解决实际问题的智慧和力量，那就是没有把知识学到手。引导学生建立合理的知识结构，就是为了帮助学生快速提取，充分运用己掌握的知识，使知识发挥作用。

美国心理学家布鲁纳认为，记忆保持的重要问题不是贮存而运用时“如何把用到的知识易于提取”，“易于提取”的关键又在于“对知识的组织”。因此掌握知识的人要善于把所掌握的知识进行科学安排，到需要时即能知道在何处提取。这让人们想到图书馆的运作情况了。

当你走进一座相当规模的图书馆，藏书几万、几十万、几百万乃至上千万册，想借一本书，只要你递上索书单，工作人员就能从数以万计、十万、百万乃至上千万计的茫茫书海中，快速、准确地找到它，让你如愿以偿。为什么能这样迅速而准确地做到呢?最根本的一点是：图书馆中的每本书，并非零散的，无系统性、规律性的，而是按某种结构标准进行划分归类，使它们从属于各自的类目。工作人员就是以这为基础，根据这些，从相应的不同级别的书库中、书类目中准确快速地找到它的。试想如果你不提供这本书所在的类目情况；如果图书馆的数以万计，乃至上千万计的书没有进行有目的的整理，分门别类，而是随意堆放，毫无规律性、结构性，那么，工作人员要找到它真的如大海捞针，千难万难。由此可见，图书馆的运作过程中，把图书按一定的标准加以分类，并根据这种分类建立相应的各级别各类目的书库，按照设定的各级别各类目的书库情况，对进入馆内的每本书进行分类，标明其从属的类目，至关重要。

建立相应的各个级别的“知识库”，犹如图书馆中级别不一的书库。每个小的知识点和能力训练点，好比进入馆内的经过加工整理类目从属清晰的每本书。建立合理的语文知识结构，在运用时就能准确，迅捷地从众多纷杂的记忆中提取有效的知识。

孙老师的结构教学法的经验不仅仅可以用在数学学习上，还可以复制到其它学科，因为各学科的思维结构和思维原点是相通的，是有规律可循的。从这些思维原点中提炼出来一个学习的基本模型，这个模型是由四种基本学习能力组成，即：

（1）发现研究对象的能力；

（2）围绕研究对象确定研究角度的能力；

（3）寻找知识之间联系规律的能力；

（4）建构知识网络制作联系导图的能力。

这四种能力的训练能够在短时期内使学生站在系统的高度进行学习，造成学生总是浮想联翩思潮如涌的思维状态。

4、学习的六种复合能力组成了学习的复合模型。

这六种复合学习能力是：

（1）理解概念的能力；

（2）研究概念的能力；

（3）理解原理的能力；

（4）研究原理的能力；

（5）审题解题的能力和研究试题的能力。

学生掌握了这个复合学习模型，提升的是自己的智力素质，这样就可以很轻松自在地运用到所有科目的学习中去，一理通，百理通。更为重要的是，它使使学生在思维的根源上具备了面对问题、探索问题、解决问题的能力，它打开了思维的万千视角，让学生将这种领悟延伸到未来，受益终生。张老师　（特莱美学校）

       造就一个强大的头脑---孙维刚老师教育实践思考

                                                                    首都师范大学教育科学学院宁虹

　　我第一次去听孙维刚老师的课时，对孙维刚老师的事迹几乎一无所知。对于孙老师的实验，孙老师的书，孙老师的报告，孙老师的学生55%考上北大、清华，电视上的报道和讨论等等，我都还不知道。当时，我刚刚来到北京，刚刚产生要做中小学教师研究的念头，与中小学老师还很少有联系。只是听朋友们的建议："要研究教师，应该去听一听孙维刚老师的课。"还从一个学生那里听到："孙维刚老师是在用哲学讲数学。"所以，我对孙老师的了解，开始得很自然。
　　我听的是孙老师的实验1班（初中二年级）的课，讲的是一节高中的代数，两节立体几何。当我坐在孙老师的课堂上，很快就有了一个突出的感受：孙老师的课，非常自然地体现出教育的意义，学生是在从根本上掌握数学的思维方式。我很快就产生了对孙维刚老师由衷的敬佩。孙老师的课好就好在一切都是一种自然地发生的事情，没有一点做作，不是为了追求什么形式原则做出来的东西，没有一点形式化、模式化的痕迹。是一种根本的、整体的、从内部生发出来的东西。完全不像有些教学录像，宝贵的经验总结成几个原则的条目，在课堂上按步就班地实施，几个条目清晰可见，让人感到很生硬。你不能不说它好，因为那些原则都很好，而且每一条都做到了；但是，总不能让人心悦诚服，因为它不自然，是从外面套上去的，强加给课堂、强加给教学、强加给学生的。
一、孙维刚老师课堂教学的主要特点
　　仔细回想孙维刚老师的课，就我自己的感受，突出的特点有如下几个方面：
（一）学生是学习的主人
　　强调学生的主体地位，让学生真正成为学习的主人，是教育改革中一个共同的追求。很多老师在努力地为此做出改革的尝试，很多课题对此作专门的研究。在孙老师的课堂上，这一点，是可以直接地感受到的。
　　在听课的时候，我们就看到了，几乎所有的例题、公式得推导、定理的证明都是由学生自己做的。在课后的座谈中，同去听课的老师，直接问孙老师?quot;您从来不证明吗？"孙老师的回答是，"过一个月、两个月，我也许会证一次"。孙老师在自己的书中写到了这个问题:
　　"我教他们6年数学，几乎每道例题、每个定理、每个公式，都是引导学生自己动手完成，孩子们争先恐后，抢在我的前面，想出题目的解法，想出定理的证明，甚至我刚刚写出定理的前提，他们就抢到我的前面，猜想定理的结论该是什么？在进一步，瞻前顾后，审时度势，需要建立什么概念了，并试着给他们定义；乃至，在我说一句话时，他们就要求自己判断出老师的下一句话该是什么了……"
　　孙老师所说的学生是学习的主人，是指学生始终处在积极的思维状态，总是想在老师的前面，向老师（包括课本挑战），这样，他们自己"历尽险阻，熟知道路上的坎坎坷坷，必将印象深刻，记忆久远，甚至终生难忘"，而"大脑及其高速运转习以为常"之时，正是"强大的头脑日臻成熟之日"。
　　孙老师认为，学生成为课堂真正的主人，是老师造就的。"教师要造就学生成为课堂的真正主人"，不是老师代替学生的主体地位，不是老师规定学生的发展，不是老师编好框框把学生禁锢在老师的框框里面。恰恰相反，它意味着"相信学生中蕴藏着巨大的智慧，这往往使我们始料不及"。彭壮壮同学以狄里克莱函数对周期函数不一定有最小正周期的证明，打破课堂的沉寂，引起学生啧啧赞叹，使知识渊博、数学造诣精深的孙老师本人"一片惊愕"，五年后，孙老师再次提出这个问题，"答出狄里克莱函数的同学，可不是一个人，而是十几人"。孙老师因而疾呼："这就是学生的潜能，打开这道闸门吧，智慧的洪流将汹涌澎湃。"教师的造就，是为学生创造条件，让学生发展自己的弹跳力，自己跳过横杆，而不是把学生托过横杆。教师不应当放弃自己的责任，但教师的责任不是"教师讲，学生听"，这样只是学生在教师那块土地上采掘?quot;把舞台让给学生"，一个个学生的慷慨激昂，造成的是"学生之间的聪明才智的相互传染，这不是教师一个人在那块瘠薄的土地所能比拟的"教师的责任，就是为学生创造条件，使教育的意义--学生的发展得到实现。
（二）重视课堂情境
　　孙老师在课堂上十分重视课堂情境的教育意义，听课中，我们不断会看到，孙老师提起以往课上的某个情节，讲述他自己中学时代的故事。我第一次听孙老师课时，他的提问是让学生说出36个三角函数诱导公式。不是背，而是说。我的笔记上记着这样一段话,"孙老师：讲吧，Sinn-a=?,我们从来反对背，如果叙述，就会想出情境来，说一说，你自己会发现?quot;在讲三垂线定理时，他讲到他的中学同学，在自习课的时候，这位同学突然一拍桌子，大声说："三垂线定理，谁发明的？太伟大了！"他的努力，是要使课堂上形成"浮想联翩、思潮如涌的思维状态"，"不仅仅拘泥于具体的知识关联，而是'情'的联想，'韵'的相通。是激情，激情汹涌；是灵感，灵感突生。""'情'的联想，'韵'的联想，将有助于培养、形成这种素质，使孩子们逐渐形成纵横驰骋，淋漓酣畅的思维和感情状态。"他的学生这样描述孙老师的课："他数学课上第一次写出α、β、γ时，从希腊字母讲到希腊文化，再讲到欧洲，讲到二战；讲到二战，他顺手就画军事地图……看似信马由缰，可他最后总能又回到院话题，非常到位，像是精心设计的。""这些看似和数学毫不相干，其实它们和数学和其他学科都有着深刻的联系，所谓同出一辙。学科间本无明显界线，它们总是互相交织，互相渗透，只有掌握其中的规律，才能把握内在的灵魂，做到知识越学越少，真正的从必然王国迈入自由王国。"

　　为什么孙老师要这样讲课？就是要在知识的八方联系、情韵的恣意纵横中形成浮想联翩的课堂情境，这就是老师为学生创造的条件。
（三）上升到哲理
　　孙维刚老师总结自己的教学，"主要的做法有：1.总是站在系统的高度教学知识，八方联系，浑然一体，造成学生总是浮想联翩思潮如用的思维状态；2.更着重向哲理观点的升华，高屋建瓴；3.课堂上，造成学生超前思维向老师（包括课本）挑战的态势，在思维运动中训练思维，互相传染聪明育才智；4.题不在多而求精，一题多解，多解归一；5.从初一开始即进行问题研究，写论文；6.各科都少留作业，数学不留硬性家庭作业，不收作业，保证学生每天水面9小时左右，6年如一。"在这当中，几乎都渗透着上升到哲理，向哲理观点的升华。为什么上升到哲理如此重要？孙老师这样回答："因为哲学是从各个学科科学中抽象出来的更本质更普遍的科学。把握住他，便可能也才可能高屋建瓴，势如破竹，深入本质，且中要害"，"是聪明的更高层次--深刻予准确的养成过程，或者说，是形成'聪明'的核心"。"这个过程，对于中学生来说，不是先系统地学好了哲学，再用来去指导学各门功课，……更不是学会一些哲学上的词儿，便用来去到处贴标签"，而是在在课堂上，在反复的思考中上升到对哲理的领悟。孙老师的一位学生在发言中说到："孙老师十分注重培养我们用哲学思想来指导学习，如对称思想，两边到质变，嗖时非常重要的思想。记得还在上初中时，一次，孙老师顺手在黑板上写了个公式，
（a b）=
　　他边回身边问我们能不能记住这个公式，我说：'能'孙老师摇摇头说：'你应该说：您这个公式一定写错了！因为在公式的左端，a和b是平等的，而在右边的展开式中，a和b不平等了。那么，它一定是错误的，这就是对称思想。'当然这个例子太小了。对成的含义是相当深刻、广泛的。对称就是和谐，使美。是一切事物都在他该再的地方，有了这种思想，才有了元素周期律表，才能与建、判断很多问题的结果。作为学生，我们还不能很深刻理解它，但金运用这点皮毛，我们可以用一个上午学习并掌握三角函数118个公式，这是大部分学校一个越要讲的功课，可见哲学思想指导的威力……"。

　　孙老师没有把数学课变成哲学课，但是他的数学课注入了哲学的思考和理念，使数学成为一个整体，造就着一个个强大的头脑。
（四）鲜明的个性
　　孙维刚老师的教学，有他自己的鲜明的个性特点。这一点，从一走进他的教室，就能感受到。每个走进孙老师教室的人，第一眼就会看到黑板两侧的条幅："神圣的课堂永远安静；明亮的教室永远干净"。即使在听课的人多，换一个大教室的时候，这两句话也仍然会挂在黑板的两侧，可见这两句话在孙老师心中占有多么重要的位置。我以为，这两句话是孙老师的要求，也是孙老师本人个性特点的一个体现。或许，不是每一位教师都想做这样的要求，甚至也许有人会表示不同的理解，但是，为什么教师就不可以表现自己独特的要求或个性呢?quot;神圣的课堂永远安静"和孙老师的教学是很和谐的，并且具有教育的意义，学习是神圣的，怀有一种安静的神圣，对学生不是压力，而是一种感染，形成的是冷静思考、不停探索的追求和习惯。这不仅仅是一个口号，它也体现在孙老师的教学中，是孙老师对教学所持的一种态度和信念。

　　孙老师在他的书里讲到"曾经有一位老师埋怨我："上您班的课，真把我急死了，我问问题，没有人呼应"。孙老师向她做了解释，并在书中写道："课堂是战场，但又不是端这次到冲锋硝烟弥漫的汕头。我们的劲头，我们的信心，无论是学生的还是老师的，都不是呐喊出来的，而是冷静的思考，深刻的思考的结果。是实在的、深沉的，而不是表面的、虚假的热烈。切不可把缜密探讨的一堂课，演诚一幕闹剧。""脑子里是高强度的拚搏，教室的气氛却是井然有序的安静。静谧的气氛保障了深入的思考，而在达到胶着状态的构思过程中，情绪必须是凝重的。"

　　孙老师对课堂讨论明确地提出了他的看法：
　　"对于课堂讨论，我不赞成下面的方式：教师提出某个问题，或写出一道题目后，给几分钟或更多一些时间，让学生分组讨论。然后，解决了问题的小组的代表，站起来进行回答。
　　我认为，这样做其弊端有三：

　　（1）一些优秀的思考、传播的范围小；而一些不正确的想法，教师听不到。

　　（2）秩序乱哄哄，在一些基础较差的学校：甚至会闹起来。我们的课堂，应该笼罩着深沉思考的气氛。

　　（3）最不利的是，由于几个人你一言我一语拼接成了解答，你想不到的我想到了；我想不到的地方他给我接上了；而他并没有想到的，你、我又想到了。这样一来，问题虽然解决了，但每个人都没有独立完成一个全过程的思考。没有得到有一定强度的思考锻炼，思维水平总停留在一个比较低的水平上。

　　我更不赞成下面的做法：为了表明不是一言堂，教师在讲课过程中，时时提出一些很简单的问题，例如，'对不对呀？'；'有没有呀？'；'正的还是负的呀？'...... 然后让同学们齐声回答，或七嘴八舌地喊。这样做，能达到什么目的呢？
　　提问的目的之一，是了解学生的想法，了解不明白或想法错误的学生有多少。在一片嘈乱的大合唱中，教师分辨不出明白的学生是哪些，不明白的学生有多少。

　　要想达到这个目的，比较好的方式是，向同学们说：

　　'认为这个变形正确的，请举手。'

　　'认为这个变形不正确的，请举手'

　　两次都不举手的，就是弄不清楚的学生。

　　这时，三类学生各约多少，分别是哪些同学，一目了然。"

　　对于课前预习，孙老师也有他的看法，他认为：

　　"这种观点（主张中学阶段课前预习），是有道理的，但它落伍了，落后了。

　　其一，它的出发点，仅仅着眼于知识，而没看到更高的目标：发展学生的智力素质。

　　其二，就知识的学习而言，也是低层次的，说到本质，它是靠多次重复达到掌握，这当然不如自己历尽险阻所得而记忆久远甚至终生难忘。
……

　　其三，通过预习已经知道了课上要讲的内容、结论、推导过程、例题解法等等，那么，课堂上还谈何"超前思维、真正做课堂的主人、在思维运动中训练思维呢？"结果是，赔了夫人又折兵，既花去课前的一段时间，又浪费课堂上发展自己智力素质的机会。

　　所以，在中学阶段，我是不主张课前预习的，尤其是中学数学那从系统的观点、从哲理的高度看来实在是很简单的那一点儿东西。"

　　还有，孙老师主张"不要提示"。他认为教师在课堂上要"审时度势，从造就强大的头脑和眼前的实际出发，不时点语引句。但不是提示。"在于孙老师座谈时，它讲到，它自己在上中学时，就不听老师提示，每当老师提示的时候，他就用双手捂耳朵，他不是一般地捂住耳朵，而是双手一张一合地捂，一般地捂住耳朵，提示的声音还会听到，而一张一合地捂，（他形象地表演他捂耳朵的动作），使声音一断一续，才可以完全听不到提示的内容。为什么不要提示？"因为提示是把练习跳高的学生托过横杆去，学生此刻需要的是，纠正错误的动作和发展弹跳力"

　　孙老师的这些富有个性的教育观点，这些不同于通常很多教师的做法，有孙老师自己的风格、特点，这些都是与他的教学相和谐的，产生着特有的效果。每一位教师都有自己的个性特点，都面对着自己的学生，对孙老师的做法可能会有不同的理解，但就教育的观念而言，在孙老师和很多老师之间是有距离的，缩小这个距离，天平的砝码应更多一点放在孙老师的一边，因为孙老师的工作向我们表明了，教师的工作可以不至于平庸化。

二、从根本上解放学生，从根本上掌握数学的思维方式
　　我不赞成这样的说法：孙维刚老师的经验好，但是不能学。好的东西，为什么不能学呢？学习孙维刚老师的教育思想和实践，应当从根本上把握，这个根本，就是："从以知识为目标，转到以活生生的学生本人为目标"。孙维刚老师的名言"造就一个强大的头脑"，就是他对教育的意义的根本的理解，他的教育实践，就是在实现这个教育的意义。他的做法，概括地说，就是从根本上解放学生，让学生从根本上掌握数学的思维方式。
　　为什么孙维刚老师的课堂上，几乎所有的证明都有学生自己来完成，因为他们真正掌握了数学的思维方式，他们在课堂上所做的证明和思考，是真正的数学的思考和探索。每个学生都会有自己思考的角度，都有自己的理解，他们也可能发生错误，但是他们的思考都已经是真正数学的思考。数学，在孙维刚老师那里，使整体地呈现给学生的，正是因为学生已经走进了数学的思维方式，所以才能理解这个整体的数学，才能接纳极大的知识的跨度，才能在短短的几堂课里，学完通常几个月才能学完的内容。在"浮想联翩、思潮如涌"的课堂情境中，尽管有万端变化，但他们却始终有万变不离之踪，这就是他们已经形成的数学的思维方式。如果没有这一点，在孙维刚老师的课堂上，恐怕只有望洋兴叹。数学的教育意义，或许就在于此。这是多少人追求而难以轻易实现的，为什么孙老师能够实现呢？在听孙维刚老师的课时，我很快就意识到他的学生对数学思维方式的把握，也随即产生了这个问题。在座谈时，孙维刚老师的介绍，回答了我的疑问。孙维刚老师说："改变一个孩子的情况，不是短期能够完成的，所以，我要从初一接新生，请给我6年时间。"那么，孙老师是怎样做的呢？我认为最关键的，就是从一开始，就从根本上解放学生。
　　从根本上解放学生，孙老师的做法，使我感触最深的是，从一开始，就鼓励学生提出任何"为什么"的问题。他强调，世上"没有没有为什么的事物"，"在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找他与其他事物之间的联系。是它逐渐成为学生的一种根深蒂固的习惯。"

他举了一个令人难忘的例子：
　　在一所学校里，一名初一的小同学问他的数学老师：'老师，课本上说，整数和分数的总称，叫做有理数，有理就是有道理的意思，我不明白，整数和分数这两种数有什么道理呢?'

　　多么好的问题，我在旁边听了后心想，这种强烈的求知欲，正是我们当老师的求之不得的呢!可是，老师怎么回答?

　　"这是数学上的规定，没有为什么!"

　　太遗憾了，太残酷了。

　　几经如此．宝贵的火花便将熄灭，而走上那样一条路：学习时，不再思考，刻板记忆，不求甚解。渐渐地、渐渐地，思维着的心灵变得麻木了……

　　为什么把整数和分数的总称叫有理数，是有原因的。这个原因，是翻译上的一个失误。"rationalnulnber~'这个单词．日本人把它译做了有理数。我们又从日文译成了中文。在这里，译者只知"rational"的最常用的意义：理性的，合乎情理的。--般字典上也只有这个译法。但"rational"还有另外一个意思：比。"rationalnumber''是指"可以精确地表示为两个整数之比的数"。(《兰登辞典》RANDOMHOUSE))

　　这一来，真相大白，恍然大悟，再明白不过了。因为，分数当然是两个整数的比，例如4/7是4：7，整数同样是，3是3：l，也是6：2，……所以，整数和分数总称做"rationalnumber"(可比数)。

　　如果老师不了解这个背景，是不是可以这样回答学生的提问：

　　"这个问题我也不清楚，让我回去查查书，或者问问别人，不过我想，把整数和分数的总称叫做有理数，一定是有原因的，你的问题提得太好了，你忠实地执行了我们的学习方法中的一条准则，凡事都要去问为什么，世界上不存在'没有为什么的事物'。"

　　孙老师的回答还在继续：

　　"单词'rationalde'rate是'比率'、'速率'的意思，正是'比'的意思，追溯上去，在英语的早年，它的意思是'配额'，比如，军官每人2个面包，军士每个人1个，士兵2人分得1个面包，这不也是2：1、1：1、1：2吗！而在就军队里等级制度的观点下，认为这种安排是天经地义的，合情合理的，所以，'rational'集'理性的、合理的'和'可以写成两个整数之比的'于一身，不也是顺理成章合情合理的吗！也就是，又找到了更深一层的'为什么'"。

　　世界上没有没有为什么的事物，从为什么足球叫足球而篮球不叫手球，到几何为什么叫几何，函数级数（公式）为什么叫三角级数，为什么有十进制和二进制等等。这些，又涉及到历史、文化、生物进化，各个方面的追根溯源。这样追根溯源的后果是什么？孙老师指出：

　　"第一个后果：八方联系，导致浑然一体。原以为离散的瓦砾，原来都有条不紊喜结连理。理解不再困难了，记忆它们，无需头悬梁锥刺股了。难以记忆的知识，会像影子一样，割舍不能。"

　　"第二个后果：是最有价值的后果，每个'为什么'的答案都是找出了'它'与'它'以外的事物的关联。有助于形成同学们的联想习惯和联想能力。

　　第三个后果：逐步形成一种学习方法--在寻求与已掌握的知识的联系与区别中，学习、掌握新的知识。"

　　儿童是天生的哲学家，他们提出的问题，往往并不遵循成人的经验和规则，并且往往带有根本性的追问，这种追问，也反映着人的好奇、探究和追求。人类的发展，正是从这样的开始走过来的，孩子们提出的问题正是他们思索和智慧的开始，教育的意义，正在于促进他们的思索和智慧。在经历了最初的阶段之后，学生的问题越来越多地指向了那些真正的数学问题，孙维刚老师就是这样从保护孩子们思维的盎然生机开始，使他们的思维得到根本的解放，一步一步走进数学，掌握了数学的思维方式。就是在这样的过程中，孙维刚老师实现着教育的、数学教育的意义。

　　孙维刚老师是不是一位教育的研究者？应当说他是一位卓越的、富有成效的教育研究者，他的研究，不仅仅在于数学的精深造诣、不仅仅在于他广泛涉猎的渊博知识，而更体现在他如何娴熟地把这一切凝聚在一起，使教育的意义在每个学生身上得到实现。