无穷大到底有多大?

数学绝不是做题,而是一种思维。

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你可能听说过无穷大,也可能做数学题碰到过无穷大,但你可能没有深入了解过无穷大。

以前小孩子们玩说数字比大小的游戏,可能觉得1亿就是很大很大的数字。当你学了一点点数学,这个游戏可能就会马上终止。因为你只需要给出一个∞(无穷大),它就表示了无限大。

可是,你心里或许还有疑问:无穷大真的是“最大”了吗?有没有比无穷大还大的东西呢?

为了解决你的疑问,我先来问你一个问题:你觉得无穷大是一个数吗?

或者说,“∞ 1”和“∞”这二者相等吗?

在这里,我先告诉你答案,随后我会举几个例子让你有更好的体会:

无穷大不是一个数,它表示了一种趋势,而且是一种动态的趋势。

通俗点说,就是你想让他多大就有多大,或者说,比你能想出的任何一个大数还要大。

因此,“∞ 1”和“∞”是一回事,都表示无穷这个浩瀚的“海洋”。

如果到这里你都能理解并且接受,那么你的思维已经提升了一个层次:从有限世界提升到了无限世界。

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简单了解了无穷之后,你可能还有疑问:既然无穷大表示一种动态趋势,那么所有的无穷大都是相等的吗?两个不同的无穷大之间能不能互相比较呢?

事实上,在无穷的世界里,要比较两个无穷大是否相等,就要采取一种新的规则:

那就是看这两个无穷集合中的元素能否一一对应,有没有“漏网之鱼”。如果能一一对应,那么这两个无穷大就可以被认为是相等的。

这个规则可能会颠覆你已有的认知,我们先来看一个例子:

我们都知道,整数包括奇数和偶数,并且它们都是无限多的。

问题来了:你觉得偶数的数量多,还是整数的数量多?

你可能觉得这在侮辱你的智商:这还用问吗?肯定整数的数量多啊,毕竟整数包括了偶数!

但如果你这样想,你的思维就仍然停留在有限世界里,没有进入到无穷世界中。

前面我们说过,在无穷的世界里,要用新的规则去判断。

我们先写出一部分整数数列:

1 2 3 4 5 6 ······

然后将上面的数字分别乘以2,就得到了偶数数列:

2 4 6 8 10 12 ······

这样你会发现一个惊人的事实:整数数列中的每一个数,都和偶数数列中的每一个数一一对应

换句话说,整数的个数和偶数的个数是一样多的!

Amazing!在无穷的世界里,部分竟然可能等于整体!

如果你理解到这里,思维又会提升一个层次。

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接下来,请继续张大嘴巴,因为在无穷的世界里,你还会碰到更多稀奇古怪的事情。

有2条线段,一条长1米,一条长2米。这两条线段上点的个数竟然是相同的!

我来画张图你就能明白为什么是这样。

如上图所示,BC、DE为两条线段,我们将两条线段的端点分别连接并延长,交于A点。

然后在DE上任取一点G,连接AG,交BC于F点。

那么你就可以发现,不论你在DE上取哪个点,在BC上总能找到一个点和它一一对应。这两个点的连线的延长线都交于A点。

因此,尽管两条线段长度不同,但它们点的个数是完全相同的。

事实上,不管你是1米也好,1万米也罢,任意长度线段的点的个数都是相同的。

好了,关于无穷大就介绍到这里了,希望你在无穷的世界里也能自由翱翔!

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