一道网研几何综合题的解法探究

《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

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原题呈现

图文解析

NO.1

根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求得ND=2√5，求平行四边形面积只需求出高，过点A作AE⊥BC，则Rt△ABE中，根据三角函数可求BE=1，勾股定理求出AE=2√2，最后根据平行四边形面积公式即可求出面积。

NO.2

法一：设参法

根据DM平分∠ADC，且DM⊥MH，可联想到等腰三角形三线合一的性质，补形延长MN，DC交点F，可得NM=FM，DN=DF.

由平行四边形ABCD得AB=DC，又已知AB=HA，所以DC=AH，因为H是ND的中点，且MN=MF，所以MH是△NFD中位线，所以MH∥DF，所以∠AHN=∠CDH，MN是Rt△NMD斜边中线，所以MH=HD，所以△AHM≌△CDH。

因为△AHM≌△CDH，所以∠DAM=∠HCD=β，设∠AMH=α，则∠MND=α+β，则∠NMH=α+β，所以∠AMH=2α+β，再由MH∥CD，有∠ACD=∠AMH=2α+β，因为∠HCD=β，所以∠ACH=2α，所以∠ACH=2∠AMH。

法二：倍半角之等腰三角形

由△AHM≌△CDH，所以∠DAM=∠HCD，而∠1=∠DAM+∠ADM，∠2=∠HCD+∠MDC，因为DM平分∠ACD，所以∠ADM=MDC，所以∠1=∠2，过点C作CG⊥DM，因为MN⊥MD，所以MN∥CG，所以∠AMN=∠MCG，而∠MCH=2∠MCG，所以∠ACH=2∠AMH。

NO.3

经分析不难发现，动点B'是受AM长度和旋转角∠AMM'的大小这两个变量的控制，多变量问题可用控制变量法分析。

①AM长度不点，即假设点M是AC上一定点

连接B'C，易证△ABM'∽△CBB'，B'C:AM'=BB':BM'=√2，故点B'在以C为圆心CB'为半径的圆上。

如下动图，当点B'与圆上点E重合时，点B'到AD的距离最大。

②将点E在AC上运动

当圆的半径越大则B到AD的距离就越大，何时圆的半径最大呢？显然当M与点C重合时AM最大，此时圆的半径CB'最大。

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