2021年乌克兰数学奥林匹克十年级平面几何题解答

.Let O、I、H be the circumcenter, the incenter, and the orthocenter of ⊿ABC. The lines AI and AH intersect the circumcircle of ⊿ABC for the second time at D and E respectively. Prove that if OI//BC, then the circumcenter of ⊿OIH lies on DE.

先证明一个中间结论.

结论：如图1所示，O、I、H分别为⊿ABC的外心、内心、垂心,若OI∥BC，则IH⊥AI.

证明：如图2所示，设内切圆与BC、AB分别切于点D、F.连ID、IF.设AI交⊿ABC外接圆于点M，作圆直径MN与圆再次交于点N，MN交BC于点K.

易知⊿AFI∽⊿NBM，于是有

由垂心性质知道 AH=2OK.由鸡爪定理，MB=MI，

于是有AH∥MN，所以∠OMI=∠IAH

所以⊿MOI∽⊿AIH,∠AIH=∠MOI=90º.所以IH⊥AI，命题得证！

回到原题. 各辅助线及点如图所示.

其中MD为外接圆直径，MD交BC于点N.内切圆与三边分别切于点J、K、S，JP⊥SK与点P，并交内切圆于点T.IH与DE交于点F，IJ与DE交于点R.

由熟知的结论，SP/PK=BJ/JC，于是在⊿ASK和⊿MBC中，点J、P为一对位似对应点，进而圆D和圆I为位似对应圆，由鸡爪定理知DI=DB，即点I在圆D上，有T在圆I上，故点I、T为一对位似对应点.于是∠DAE=∠DMI=∠IAT，所以点T在AE上,所以四边形AIJT为平行四边形，AT=IJ=ON，有垂心性质知AH=2ON，所以点T为AH中点.由OI//BC知道OI垂直平分MD和AE，所以四边形MADE为等腰梯形.

所以∠DEA=∠MAE.由前面所证结论知IH⊥AI,有显然MA⊥AI，所以IH//AM，

所以∠IHE=∠MAE=∠DEH,有垂心性质知H、E关于BC对称，所以四边形HIRE为等腰梯形.

设TJ与DE交于点W，与MD交于点U.

显然四边形ATDU、四边形ATIJ都为平行四边形.

由点T为AH中点知TIJH为菱形，所以TW垂直平分IH.由HIRE为等腰梯形知DU=JI=JR,所以⊿DWU≌⊿RWJ,于是点W为JU的中点，过W作BC的垂线，则该垂线垂直平分NJ，进而该垂线垂直平分OI，即点W为OI、IH的垂直平分线的交点，所以点W为⊿OIH的外接圆圆心，而点W在DE上，命题得证！