世界上最短的数学论文系列：仅用半页纸证明π是无理数

无理数是很有趣的，小数点一直延续下去，但是整个数总是小于一个固定值，这不是很尴尬吗？更令人惊讶的是，这些数字是如何与画在一个平面上的圆联系在一起的，是的，我说的就是π。这里我们将用半页纸来证明这个数字π的无理性。

几千年来，人类文明就已经知道π及其与周长和圆面积的关系；尽管π的估算从3到3.12再到3.14等等，但它的无理性却只有约翰·海因里希·兰伯特发现并证明了-(德语：[lambt]，法语：让-亨利·兰伯特；1728年8月26日至1777年9月25日)，他是1760年的瑞士博物学家，后来被其他著名的数学家如厄米特、卡特莱特、布尔巴基和拉茨科维奇所研究。

然而，当这些证明被认为是高水平的数学时，Ivan Niven博士的一篇论文用简单易懂的工具，用古老的矛盾方法将其缩短在半页纸里，让我们来看看。

首先考虑π是有理数，π可表示为π = a/b，其中a和b为整数且b≠0。让我们再考虑一个函数:

我们可以将n从1变换到任意数n，得到一个多项式F(x):

现在，回到f(x)，很明显当n!与f(x)相乘，分母为1，因此对于任意x, f(x)的结果是一个整数。所以

现在，如果你考虑右边，(a -b.x)^n中x的最低次幂是0，在a^n中，当它乘以x^n时，结果中x的最低次幂是n，最高次幂是n+n = 2n。

如果对f(x)求导，当x = 0或(a - b.x) = 0 => x = a/b = π(如前所述)时，结果总是0，因为分子中所有项都有x。现在我们对(F ' (x) sin x - F(x) cos x})关于x求导。

经过一些简化，我们得到的结果是：这里将把它作为一个有趣而简单的题目留给大家。

你可能知道，积分是微分的逆运算，反之亦然。因此，如果对f(x) sin x积分，也就是对{f ' (x) sin x - f(x) cos x}求导后的结果，我们得到的结果是{f ' (x) sin x - f(x) cos x} ！在0到π的范围内积分相同，我们得到：

在此，π＝ a / b。如前所述，F（π）+ F（0）是一个整数，可以任意次数地将f（x）微分，因为x = a / b =π和x = 0的结果是整数。

但由于f(x)是一个多项式函数，当0 < x < π时，f(x). sinx的最小值为0，而x的值为f(x)。通过对sinx = 0求导可以得到sinx = 0的最大值，接下来如果将值代入，就得到了该函数值在上述极限中的一个上界。

很好，所以这个积分是正的，但是对于一个非常大的n它就不成立了，当n的值更大时，它的上界趋向于0。

换句话说，对于n的任意值的积分在n的更大值处断开，所以有两种可能性，要么是积分过程出错，要么是π不能写成a/b。但如果你用多种方法来验证积分过程，结果总是一样的，要么就是π≠a/b，要么就是π无理数！

虽然现在有许多人已经记住了成千上万个π的数字，但只有少数人知道如何证明它的无理性。尽管有很多对π无理性的证明，甚至有一个从未存在过的法国数学家布尔巴基的证明，但伊凡·尼文的证明碰巧是最简洁的。