椭球面的内接同心正多面体

1、椭圆的内接同心正多边形：

（1）正三角形的外接同心椭圆是圆，即椭圆不存在内接同心正三角形。

（2）椭圆存在内接同心正方形，四边与椭圆主轴平行。

（3）椭圆不存在内接同心正n(n≠4)边形。

2、椭球面的内接同心正多面体：

（1）椭球面不存在内接同心正四面体。

（2）椭球面存在内接同心正方体，六面与椭球主轴平面平行。

（3）两中心圆垂直的椭球面存在内接同心正八面体。

① 椭球面：ax²+by²+(1/2)(a+b)z²=1.

② 正八面体半径：R^-2=(a+b)/2.

③ 对角线方向数：（1，1，0）、（-1，1，0）、（0，0，1）。

（4）求半轴关系式：（待研）

① ax²+by²+(1/2)(a+b)z²=1+2z(ex+fy)，正八面体参数：同（3）。

② ax²+ay²+az²=1+2dxy+2exz+2fyz，正八面体对角线：三坐标轴，R^-2=a。

（5）椭圆体存在内接同心正八面体。

① 椭圆体：ax²+by²+bz²=1.

② 正八面体半径：R^-2=(a+2b)/3.

③ 对角线方向数：（-1，√2，0）、（√2，1，√3）、（√2，1，-√3）。

（6）标准椭球面存在内接同心正八面体。

① 椭球面：ax²+by²+cz²=1.

② 正八面体半径：R^-2=(a+b+c)/3.

③ 对角线方向数：（待研究）

（7）一般椭球面存在内接同心正八面体。（不变式：a+b+c）

① ax²+by²+cz²=1+2xy+2exz+2fyz.

② 正八面体半径：R^-2=(a+b+c)/3.

③ 对角线方向数：（待研）