【思维模型】大数定律——如何应对赌徒谬误和黑天鹅

大数定律，就是当重复试验足够多次的时候，随机事件的频率近似于它的概率。比如掷一个硬币次数足够多的时候比如说10万次，正反面出现的频率就会更接近5万次，近似于50%。这个极限定理由伯努利提出，是概率学的核心定律之一。

大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。

有一个墨菲定律：“凡事有可能会出错，就一定会出错！”就是说，如果暂时没出错，也只是时间问题。

成立条件：1、事件有大于零的概率；2、样本足够大（比如时间足够长，人数足够多等）。所以墨菲定律可以算是大数定律的一种特殊情况，概率只要大于0就会发生。

赌徒谬误就是源自不理解独立重复事件，赌徒凭感觉倾向于认为某事发生了很多次，因此接下来不太可能发生。比如同样是掷骰子押大小，前面9次都是“大”，人凭直觉会认为接下来出现“小”的概率会更大，陷入赌徒谬误，认为该押“小”。但是只要了解独立重复事件，就知道每一次出现大或小的概率都是一样的。独立重复事件的特点就是，每次概率并不受其他结果的影响。

这里可以用之前写过的贝叶斯定理来解释：

还没开始掷骰子的时候，前十次出现至少一次小的概率：P = 1 - (0.5)^10，这个概率非常大。

掷了一次骰子是正面，后面九次出现至少一次小的概率：P = 1 - (0.5)^9，这个概率小了一点。

掷了九次骰子都是正面，最后一次出现小的概率：P = 1 - (0.5)^1，这个概率就是0.5。

赌徒可能会说根据大数定律，不是会趋近于50%吗，那接下来肯定是“小”的概率更大嘛。这就忽略了大数定律的重要条件，就是“大”——重复次数足够多。只有在样本足够大的时候，才会出现预计的结果。所以必然，只存在于长期，短期来看，都是偶然。10次、100次都算不得“大数”。

股票市场也有很多人因为赌徒谬误，导致巨大的损失。这股票都跌了这么久了，应该要涨了吧，心里想着抄底，结果抄底之后，继续暴跌，被深深套牢。这样的情景总是反复出现，即便是很聪明的人，也会因为赌徒谬误做出错误的选择。

比如赌场就是利用大数定律赚钱的典型案例。首先要概率占优，其次重复次数要足够。

古时候赌场的“买大小”本来是同等概率，但是有一个“大小通吃”，庄家概率就占优了，长期下来一定赚钱。

现在的赌场有各种方式来让看上去平等的游戏，变得有利于庄家，比如“抽成”就是一个典型的方法，赢了抽2%，输了不抽，看上去很合理，但是就是这2%，庄家的概率就占优了，长期下来一定赚钱。

与“大数定律”对应的，就是“小数定律”，小数定律说的是，但样本数量太小的时候，什么极端的结果都可能出现。但是人在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律，而不由自主地使用“小数定律”，滥用典型事件，犯以偏概全的错误。

比如有人说理的时候，为了证明自己的观点，总会说我的朋友怎么怎么样，他这样做都可以，我们先排除他在吹牛、虚构的可能，即便他说的是对的，个别案例也不能代表整体。

在选取样本的时候，如果样本选择太偏，或者太小，结论就会不可靠。赌徒谬误和小数定律就是样本选取太小的结果，另外一个经典的认知偏差“幸存者偏差”就是样本选取跑偏的典型，本应该选择所有出事的飞机，却只选择了幸存下来的飞机，结论当然会有问题。

大数定律给我们的两条启示，一个是不要遵循心理上的“小数定律”，犯一些滥用典型事件、以偏概全、赌徒谬误的错误。另一个是即便一个东西概率很低，只要次数足够多，就一定会发生，而如果这个东西，会造成巨大的影响，那么我们就不得不事先做好准备，避免遭遇无法承受的打击，这类事件有另外一个名字，叫做“黑天鹅”事件。