著名的数学难题——最速落径问题，求解这个问题莱布尼茨用了6个多月，伯努利用了两个星期，牛顿只用了一个晚上

1696年6月，著名数学家约翰·伯努利（ Johann Bernoulli ）)在德国一份科学期刊《博学报》（Acta Eruditorum）上发表了以下问题：

在铅直平面上两点A，B之间要连一条曲线，使得不受摩擦的质点在重力的作用下沿这条曲线由A运动到B所需要的时间最少？

  • 图1：从A到B，三种可能的最优路径

下图显示了约翰·伯努利和1696年6月用拉丁文在《博学报》上对该问题的表述。

  • 图2

这一数学难题被称为捷线（最速落径）。尽管约翰·伯努利自己已经知道如何解决这个问题，但他还是挑战了欧洲的其他数学家，并给他们6个月的时间来解决这个问题。然而，在那之后，没有人给出任何答案。就连历史上最伟大的知识分子之一戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）也要求延迟最后期限。1697年1月29日下午，艾萨克·牛顿在他的邮件中（一封来自伯努利的信）发现了这个问题。然后，他在夜间解出了这个难题，并以匿名方式寄回了答案。

下面是牛顿手写的答案。这个故事让我们对牛顿的天赋有了一些了解，因为约翰·伯努利花了两周的时间才解出它。

  • 图3：牛顿手写的捷线问题解决方案。

牛顿手写解的翻译是：

从给定点A出发，画一条平行于水平面的无界直线APCZ，在这条直线上描述任意摆线AQP，在Q点上与直线AB相交（并在必要时延伸），然后另一个摆线ADC的底和高[as AC: AP]应分别为前一个的底和高AB到AQ。这条最近的摆线将穿过B点，成为一条曲线，在这条曲线上，一个重物在自身重量的作用下，最迅速地从A点到达B点。

要了解牛顿对上述解的详细过程，请私信我。

最速落径曲线

最速落径曲线是一条位于二维平面上的曲线，有一个初始点A和一个终点B，仅受重力作用的一个质点从A点到B点时间最短的路径。

求曲线的问题有以下假设：

  • 曲线上没有摩擦

  • 质点开始时是静止的

  • 引力场是常数是g

  • 图4：A和B之间的一条可能路径Γ

现代解

假设解是函数y=y(x)，为了方便起见，我们选择初始点A =(0,0)。最后一个点定义为B = (a, b)。由于质点最初处于静止状态，由能量守恒将得到：

  • 式1：能量守恒

然后我们把dt写成：

  • 式2：用x和y表示的无穷小区间dt。

质点从A =(0,0)到B = (a, b)的总时间则为：

  • 式3：质点从(0,0)到(a,b)的总时间间隔T。

数学对象T依赖于函数y(x)，因此它被称为泛函（函数的函数）。泛函只依赖于（一个或多个）变量，而不依赖于完整的函数。

我们要解决的问题是找出函数y(x)使总时间t最小。为此，我们需要学习一个叫做变分法的数学。

变分法

考虑一个函数ψ(x)，ψ满足以下条件，即ψ(x_0)=y_0和ψ(x_1)=y_1。考虑第二个非常接近第一个的函数，把它写成:

  • 式4：第二个函数，非常接近第一个，u(x)所满足的条件。

请注意，关于ψ(x)的条件必须满足上述关于u(x)的条件。

  • 图5：函数ψ(x)和另一个函数。

现在考虑以下函数：

  • 式5：一个函数，其被积函数L显式地依赖于x, y和y'。

注意，通过改变L(x, y, y ')，我们得到了定积分S[y(x)]的不同值。现在我们考虑随ψ(x)变化而变化的L：

  • 式6：ψ(x)和ψ ' (x)变化时L的变化。

对两边积分，对第二项进行分部积分，利用u(x)所满足的条件，得到积分S的变化量如下：

  • 式7：积分S经过一个小的变化后的变化。

如果S是最小值，δS=0。由于u(x)是任意的，必须有：

  • 式8：δS=0的必要条件。

当y(x)等于使L为极值的函数ψ(x)时，括号内的表达式消失。简化符号，我们得到了著名的欧拉-拉格朗日方程：

  • 方程9：欧拉-拉格朗日方程。

我们用它求出式3中最短的时间，其中：

  • 式10：式3的被积函数，代入欧拉-拉格朗日方程式。

经过代数的几步，我们得到以下微分方程及其相应的解：

  • 式11：表示摆线的参数方程。

式中k为某常数（依赖于边界条件），变量的变化如下：

  • 式12：用来推导方程式11的变量的改变。

  • 图6：滚动圆周长上的一点产生摆线

这些参数方程描述了一个摆线，它是使T最小化的曲线，如下图所示。

  • 图7：这个图显示了最速落径的曲线是摆线。

牛顿的解

1699年，数学家、自然哲学家、天文学家、发明家、宗教活动家法蒂奥（ Fatio）发表了一篇论文“关于最速落径曲线的双重几何研究”，其中包含了另一种解决捷线问题的方法。

  • 图8：法蒂奥的肖像

大卫·格雷戈里要求牛顿简化法蒂奥的解。这一节，我将描述牛顿的解。

  • 图9：牛顿和他发送给大卫·格雷戈里的解。

在图10中定义了相关的量。我们首先写出：

  • 图10：在法蒂奥-牛顿的解中使用的构造

现在，我们从基本运动学得知，下落的质点在x处的速度为：

  • 式13：下落质点的速度与高度x有关。

质点沿着ENG移动所需的时间正比于：

  • 式14：质点从E到G的时间。

现在定义：

  • 式15：R²和S²的定义。

使总的时间t相对于q最小，经过一些简单的代数运算，我们得到了一个摆线的微分方程，由式11给出。

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