2021年阿里巴巴全球数学竞赛预选赛第一题的详细分析

题目如下图：

竞赛题

对于题目的理解，

首先，对一大批聚焦在留观区的人员围绕着一个圆排队，并对人员编号以及配发号码，

比如张三的号码为1，李四为2，王五为3...

奇葩的数学家制定了一个奇葩的规定，人与人之间必须保证足够的安全距离。

编号为m,n的两个人所围成的劣弧dmn(所谓劣弧就是圆在的两个点所组成的圆周角比较小的圆弧)，与两个人的编号之和满足下述关系式：

，

什么意思呢？

比如，编号为1的张三和编号为2的李四相邻，那么两者之间的劣弧长度d12与编号之和(1+2=3)之间的关系为：=1'>

，

即劣弧长度d12>=1/3,如下图：

编号为1和2的人员的距离示意图

对题目的错误理解

题目没有对排队的方式进行任何限定，比如限定必须按编号从小到大排列，比如限定围着圆周按1、２、３...的顺序排队。

很多人直觉就认为必须要按照1、２、３的顺序排列，这样可以得到以下的安全间距要求：

错误理解

1、2号之间的最小安全间距为

2、3号之间的最小安全间距为

第n-1,n号之间的最小安全间距为：

将n号之前的最小安全间距进行累加，得到排下n个人所需求的总的安全间距，

如果当n趋于无穷大时，这个安全间距的极限小于总的圆周

，则说明可以容下任意多个人。

但是

是非常有名和调和级数，是发散的，当n趋于某一个数时，其值不会小于总的圆周。

分析到这，不少人可能一阵狂喜，第一时间排除了C。

剩下了A和Ｂ，对于A，当取n=８时，用excel算出，

８个人按编号顺序排队的最小安全间距之和

仍然小于圆周1.5708，

说明可以容纳的人员超过了8个，所以得到了B。

正确解法

上述错误之处在于，限定了人员必须按照编号顺序排队，但是题目并不要求这一限定，

是否按编号顺序排队所得到的总安全间距完全不同。

以3个人为例，当以1、２、３的顺序排队时，总的最小安全间距为

而以1,3,2的顺序排队时，总的最小安全间距为：

所以，我们需要考虑这些人排队不按套路出牌的情况。

问题复杂了，我们很难判断哪一种排队方式可以取到最小安全间距的最小值，

无法遍历, 1, n,2, n-1...的排队方式是否比1,2,3, n,n-1,n-3,4能取到更小的总的安全间距。

太复杂了。

怎么办呢？

我们要用到高中所学的数学归纳法，

数学归纳法可以概括为以下三步：

(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；

(2)归纳假设：假设n=k时命题成立；

(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．

采用数学归纳法，如果我们假设能容纳下n-1人，在这个假设下，如果再增加编号为n的人，如果也能容纳下，如可以认为能容纳下n为任何正整数的人。

即可以容纳下无限的人。

基于容纳下n-1个人的假设，我们不知道这n-1个人是怎么排列的。

但是这n-1个人都应该满足最小安全间距的要求，

我们用转变一种思路，当假设的能容纳下的n-1个人周围所有不能安排编号为n的人的间距之和小于圆周时，则说明无论如何都能找到一席之地，容纳下编号为n的人。

n-1个人的排列方式

这个时候我们不知道编号1的排在哪里，但是当我们从队列中找到这个人时，并准备把编号为n的人安插在他左右两边，那么他的左右两边分别为

的区域不能安插n，总的不允许区域为

。

同理，找到2，得到不允许区域

。

...

直到找到n-1，得到不允许区域为

。

总的不允许区域为

如果该值圆周，则说明仍有区域可以安插n。

最终得到不等式证明题：

接下来要用放缩法进行证明。

想起了以前证明过的不等式题目，

基本不等式

所以有：

由ln(x)+ln(y)=ln(xy)，得到：

而

所以，总可以找到位置让编号为n的人排下。

即证明了可以容纳任意多的人员。