质数与合数

质数与合数是个非常有意思的内容。

关于质数的理论可以写厚厚的一本书，里面有趣的内容很多，当然也很难，比如著名的哥德巴赫猜想、孪生质数猜想等都是和质数有关的问题。

关于质数的问题中最难的自然是黎曼猜想。和哥德巴赫猜想和孪生质数猜想不同的是，后面两个猜想小学生都能明白在说啥，但是黎曼猜想需要学习很多的专业知识才能弄明白，所以这里也就不多展开，有兴趣的可以往前翻翻我写的关于黎曼猜想的科普文章。

小学奥数中，关于质数和合数的内容也是非常丰富的，今天开始我们就讲讲关于质数与合数的专题。

什么是质数？

质数，又叫素数，指的是如果一个数除了被1和自身这两个数整除之外，不能被其他任何数整除，就称为质数，否则就是合数。

1于是尴尬了。

被1整除的只有1，所以1既不是质数又不是合数；

2也很尴尬，只能被1和2整除，而除了2以外的任何一个偶数至少有1,2，还有自己，所以只要这个偶数不是2，就一定是合数。

2，是唯一的偶质数，忧桑，淡淡的忧桑。

不必难过，请牢记这一点，我们在后面的解题中会反复用到这一性质，敲黑板：2是唯一的偶质数，这个很重要。

数学的迷人之处在于定义是如此的简洁，然后衍生出来的变化却是如此的多样。理论上来说，关于质数和合数所有的题目我们都会做了。

比如：

任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。。。

又比如说，孪生素数就是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13。这样的素数对有无穷多对。

行了，别看了，一个是哥德巴赫猜想一个是孪生质数猜想。我没说错吧，能轻易地读懂题目，比之前的解方程因式分解是不是容易理解多了？

但是你就是做不出来。

别气馁，目前这个世界上还没有人能做出来呢。

那么到底有哪些数是质数呢？

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97，前100个自然数理有这么多的质数呢！

大于100的就不写了，如果把所有质数排成一个长长的列表，那么合数就是从这个列表中挑出一些做乘法，当然，一个质数可以被重复挑选多次。

我们把合数分解成若干个质数的乘积的过程叫做分解质因数。我们不难证明，每个合数的质因数分解形式，除去质数的排列顺序外，分解是唯一的（证明略）。

哈哈哈哈哈，终于可以用证明略了，皮一下真的好开心（有兴趣可以尝试，做不出来也挺正常哈，不要放在心上）！

我们来看例子：把15,22,30,35,39,44,52,77,91平均分成三组，使得每组三个数乘积相等，这三组数分别是多少？

理论上，我们一共有1680种分组的办法，所以穷举虽然能做出来，但真的不是啥好办法。所以要考虑一种办法，起码能够减少尝试的次数。

那该如何考虑？

两个数做乘法的实质其实就是它们的质因数之间的乘法。我们如何去判定两个数相等？

肉眼观察。。。

来啊，拖出去打死！

12345=12345还要你说？

2的16次和65536是否相等呢？

贼老师，我背过，这俩也是相等的！

再拖出去一个！

对于较大的数，我们往往通过分解质因数的办法，然后利用质因数分解是唯一的这个结论，对比两遍的质因数及其次数是否相等来判定两个数是否相等。

所以，我们要把上面九个数分成三组，只要按照质因数来分组就可以了！

15=3×5，22=2×11,30=2×3×5,35=5×7,39=3×13,44=2×2×11,52=2×2×13,77=7×11,91=7×13。

再怎么办呢？我们又要仔细观察了。

仔细观察就是法宝嘛！

观察什么？从一般中找特殊，从特殊中找一般，多的里面找少的，少的里面找多的。

像找数的规律，就是从特殊的几个数找到一般规律；而反例，就是从对的里面找出那个错的来。

这一堆质因数里，13,11这种较大的数很醒目，一看13有3个，11也有三个，那肯定得分开啊，必然是一组一个包含13，一个包含11.就像点兵点将一样，我们先把含13的挑出来：

39=3×13，52=2×2×13, 91=7×13。

而含11的有：22=2×11，44=2×2×11，77=7×11。

最后剩下的三个数是：15=3×5，30=2×3×5,35=5×7,

很显然，44不能和52搭配，因为这样的话。。。。太2了；一共六个2它们要占4个？其他数就没法活了。所以44要么和91，要么和39。

而22很显然要和30凑一起，因为这样才能凑出俩2来，44和52都是自带俩2的。22和30包含了两个2，一个3，一个5，一个11，所以还缺一个7和一个13，因此22,30,91一组；35,39,44一组；52,77,15一组。

是不是很简单？

没事，循序渐进循序渐进，好玩的在后面等着你们那！