面积计算(二十)
事实上,在小学的奥数题中,正三角形处理起来要比等腰直角三角形或者正方形的难度要大一些。
对于中学生而言,正三角形是非常强的条件,但是考虑到正三角形中存在着大量的根号3,所以小学生看见正三角形反而是件头疼的事情。
那么等腰直角三角形有根号2出现,为什么看起来不那么头疼呢?因为两个等腰直角三角形一拼起来就是正方形了,所以可以通过这种方式来规避根号。而正三角形拼起来以后,最多让你拼出个正六边形,但是这个操作需要拼上去五个正三角形,这种补形的办法很罕见,也不具有代表性,基本上可以忽略。
所以对于小学生来说,正三角形可不是什么令人愉快的体验,但是我们并不是完全拿这类题目没有办法。
我们先来看一个例子。
正△ABC中有一点P,过P点向三边作垂线,垂足分别为D,E,F,分别连接P和正三角形三个顶点,已知正三角形面积为100,△PAD和△PBE的面积分别为15,求△PCF的面积。
事实上这个题目就算是初中生想暴力破解也是比较麻烦的,因为面积不带根号3,所以边长是个四次方根,想通过求边长计算面积可以到此为止了。
那么我们还是直接从题目入手看看。这里首先介绍一个正三角形中重要的结论:正三角形中任意一点到三边的距离和是定值——也就是说:PA+PB+PC是个定值,这个值是多少呢?恰好是正三角形的高。
这个证明是显而易见的,可以利用△APB,△APC,△BPC的面积和等于△ABC的面积,细节留给各位读者。
如果知道了这个结果,我们从图上观察,这△PAD,△PBE和△PCF都是普通的直角三角形,因此这三个三角形的面积和很可能是定值!
那么是多少呢?△ABC面积的一半是比较合理的猜测,因此我们大胆猜测△PCF的面积=100÷2-15-15=20.
如果本题是填空题,那就到此为止了。当然,试卷发下来以后,你还是要把这个题目给弄明白怎么解的,像这种蒙对的题目,必须要把他们和错题同等对待,而不能就这么过去了。因此家长在检查孩子考卷的时候,对于选择填空最后一两个题目,如果孩子对了,最好让孩子给你讲一遍怎么做的,这样比较容易甄别他们到底是蒙的还是真会了。
好,我们继续按照大题的思路来分析。像这种很难找到突破口的情况下该如何打开局面呢?此时我们既然有了一个看起来比较靠谱的猜测,那么就不妨沿着这条思路走下去。既然这个面积是一半对一半,但是看起来这六个三角形又长的不一样,是不是有这种可能:我们把这六个三角形进行拆分,使得每个三角形变成若干块小三角形,然后阴影部分和空白部分拆分成小的三角形之后的形状能变得一样。
最简单的情况就是一分为二,下面的问题来了,怎么拆?
三角形内也没有对角线可以连,但是从等积变换的角度来考虑,那就是要作平行线。问题又来了:过哪个点做哪条线的平行线呢?
挑哪个点?在这标记出的七个点里,你觉得哪个最特殊?
当然是P点。因为其他六个点都对称出现(虽然D,E,F的位置不对称,但是分布还是比较对称的),这里P点是最特殊的。
作平行线,作谁的平行线?肯定不会是作从P点引出的线段的平行线,因此比较合理的做法就是过P点分别做AB,BC,CA的平行线。我们很容易看出图中相同的数字标记的图形是完全一样的,此时六个小三角形被分成了十二个更小的三角形,通过组合,恰好阴影部分的面积和空白部分的面积是相等的,因此我们的猜测是完全正确的。
从猜测到严格论证,如果孩子能够猜对,我觉得也是值得鼓励的,但是必须要他掌握严格的做法,这才是根本,否则只靠猜是走不了太远的。