面积计算（二十）

事实上，在小学的奥数题中，正三角形处理起来要比等腰直角三角形或者正方形的难度要大一些。

对于中学生而言，正三角形是非常强的条件，但是考虑到正三角形中存在着大量的根号3，所以小学生看见正三角形反而是件头疼的事情。

那么等腰直角三角形有根号2出现，为什么看起来不那么头疼呢？因为两个等腰直角三角形一拼起来就是正方形了，所以可以通过这种方式来规避根号。而正三角形拼起来以后，最多让你拼出个正六边形，但是这个操作需要拼上去五个正三角形，这种补形的办法很罕见，也不具有代表性，基本上可以忽略。

所以对于小学生来说，正三角形可不是什么令人愉快的体验，但是我们并不是完全拿这类题目没有办法。

我们先来看一个例子。

正△ABC中有一点P，过P点向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，分别连接P和正三角形三个顶点，已知正三角形面积为100，△PAD和△PBE的面积分别为15，求△PCF的面积。

事实上这个题目就算是初中生想暴力破解也是比较麻烦的，因为面积不带根号3，所以边长是个四次方根，想通过求边长计算面积可以到此为止了。

那么我们还是直接从题目入手看看。这里首先介绍一个正三角形中重要的结论：正三角形中任意一点到三边的距离和是定值——也就是说：PA+PB+PC是个定值，这个值是多少呢？恰好是正三角形的高。

这个证明是显而易见的，可以利用△APB，△APC，△BPC的面积和等于△ABC的面积，细节留给各位读者。

如果知道了这个结果，我们从图上观察，这△PAD，△PBE和△PCF都是普通的直角三角形，因此这三个三角形的面积和很可能是定值！

那么是多少呢？△ABC面积的一半是比较合理的猜测，因此我们大胆猜测△PCF的面积=100÷2-15-15=20.

如果本题是填空题，那就到此为止了。当然，试卷发下来以后，你还是要把这个题目给弄明白怎么解的，像这种蒙对的题目，必须要把他们和错题同等对待，而不能就这么过去了。因此家长在检查孩子考卷的时候，对于选择填空最后一两个题目，如果孩子对了，最好让孩子给你讲一遍怎么做的，这样比较容易甄别他们到底是蒙的还是真会了。

好，我们继续按照大题的思路来分析。像这种很难找到突破口的情况下该如何打开局面呢？此时我们既然有了一个看起来比较靠谱的猜测，那么就不妨沿着这条思路走下去。既然这个面积是一半对一半，但是看起来这六个三角形又长的不一样，是不是有这种可能：我们把这六个三角形进行拆分，使得每个三角形变成若干块小三角形，然后阴影部分和空白部分拆分成小的三角形之后的形状能变得一样。

最简单的情况就是一分为二，下面的问题来了，怎么拆？

三角形内也没有对角线可以连，但是从等积变换的角度来考虑，那就是要作平行线。问题又来了：过哪个点做哪条线的平行线呢？

挑哪个点？在这标记出的七个点里，你觉得哪个最特殊？

当然是P点。因为其他六个点都对称出现（虽然D，E，F的位置不对称，但是分布还是比较对称的），这里P点是最特殊的。

作平行线，作谁的平行线？肯定不会是作从P点引出的线段的平行线，因此比较合理的做法就是过P点分别做AB,BC,CA的平行线。我们很容易看出图中相同的数字标记的图形是完全一样的，此时六个小三角形被分成了十二个更小的三角形，通过组合，恰好阴影部分的面积和空白部分的面积是相等的，因此我们的猜测是完全正确的。

从猜测到严格论证，如果孩子能够猜对，我觉得也是值得鼓励的，但是必须要他掌握严格的做法，这才是根本，否则只靠猜是走不了太远的。