许兴华——函数的奇偶性与周期性（教学研究）

1.函数的奇偶性

(1)如果对于函数 f(x) 定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数.

(2)如果对于函数 f(x) 定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数.

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶性 .

2.具有奇偶性的函数图象特点

一般地，奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数

(3)性质法判定

①在定义域的公共部分内．两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)；

②偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区间(a，b)与(-b，-a)上的增减性相同.

3.函数的周期性

（i）对于函数f(x),若存在一个非零常数T，使得x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),则f(x)称为周期函数；T叫做f(x)的周期；若所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个正数叫做f(x)的最小正周期。

4.简单应用【典型例题】

【练习二详解】