初二奥数精讲——第15讲 塞瓦定理与梅列劳斯定理定理（一）

一、知识点解析

1. 基本知识

塞瓦（Ceva）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是

塞瓦（Ceva）定理角元形式：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，令∠BAD=α₁，∠CAD=α₂，∠CBE=β₁，∠ABE=β₂，

∠ACF=γ₁，∠BCF=γ₂，则AD、BE、CF三线共点或互相平行的充要条件是

梅涅劳斯（Menelaus）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，则D、E、F共线的充要条件是

2. 基本方法

循环积：塞瓦定理与梅涅劳斯定理的证明都可采用这样一种方法：要证三个比值的积为1，可设法找到三个量（比如线段）x、y、z，使三个比值分别为x/y、y/z、z/x，则它们的积（我们称这种积为循环积）显然为1.

3. 基本问题

利用塞瓦定理与梅涅劳斯定理，常可解决如下一些问题：

（1）证明点共线与线共点；

（2）求线段长（比）；

（3）已知有关线段的比，求相应的参数；

（4）证明恒等式；

（5）求满足某种条件的点的轨迹。

这部分主要考察学生对塞瓦定理与梅涅劳斯定理的了解及掌握。塞瓦定理与梅涅劳斯定理是几何部分的“高阶”定理，这部分题目难度大，常与代数等知识点混合在一起考察，需要一定的空间想象能力和知识基础，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

证明塞瓦（Ceva）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，则AD、BE、CF三线共点的充要条件是

分析：可以从线段角度出发，找到三条线段x、y、z，使得

从这个角度考虑，可以过E、F、M中的某个点作三角形另两条边的平行线，通过平行线的比例定理进行求解。

另一方面，我们可以考虑通过面积来考虑，注意到△ACO与△BCO有公共边CO，从而将比值转化为面积的比值。

证明：

例2

证明梅涅劳斯（Menelaus）定理：设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB或延长线上的点，则D、E、F共线的充要条件是

分析：目可以从线段角度出发，找到三条线段x、y、z，使得

从这个角度考虑，可以过点C作CG//DF交AB于G，通过平行线的比例定理进行求解。

解答：

例3

例4

例5 （IMO预选题）

如图，设△ABC是等边三角形，P是其内部一点，线段AP、BP、CP依次交三边BC、CA、AB于A1、B1、C1三点。证明A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A.