如何理解线性回归？
下面是机器学习的《监督式学习》课程的一篇试读文章，进行了一下重新排版，然后展示在这里。由于格式的限制，缺少了一些习题、可运行的代码、证明、注释等，可能会导致解释差强人意，所以介意的同学可以直接访问 线性回归与最小二乘，以获得最佳的阅读体验。
回归大致可以理解为根据数据集
，拟合出近似的曲线，所以回归也常称为拟合（Fit），像下列右图一样拟合出来是直线的就称为 线性回归：
下面就来解释其中的一些细节。
1.1 均值回归
“回归”这个词源于弗朗西斯·高尔顿爵士（英文：Sir Francis Galton，1822年2月16日－1911年1月17日）：
他发现高个子父亲的儿子身高会矮一些，而矮个子父亲的儿子身高会高一些（否则高个子家族会越来越高，而矮个子家族会越来越矮），也就是说人类的身高都会回到平均值附近，他将这种现象称为 均值回归 。
1.2 线性回归
高尔顿的研究过程用现在的数学语言来表述就是，首先对一些父子的身高进行了抽样，得到数据集
；然后根据数据集拟合出一条直线；最后通过该直线就可以对某父亲
的儿子的身高进行预测了：
高尔顿拟合的直线方程为（单位为米）：
将方程和
联立，可得：
也就是说这两条直线会交于点 (1.77, 1.77)，这说明身高低于1.77米的父亲，他的儿子身高会高一些；而高于1.77米的父亲，他的儿子身高会矮一些：
所以这条拟合出来的直线，其实就表示了均值回归现象，因此拟合直线的过程被称为 线性回归（Linear Regression）。
2.1 假设空间
首先肯定是用直线来进行拟合：
所以假设空间为：
和感知机的假设空间差不多，只是少了
函数。
2.2 数据集
在历史上，高尔顿总共采集了近千个父子身高的数据来拟合。本课为了方便讲解，我们从中抽取了六个（原始数据的单位是“英寸”，这里全部转为了“米”）作为数据集
：
2.3 经验误差
随便找一条假设空间中的直线
，对于某父亲身高
，该直线给出的
和真实的儿子身高
是存在距离的，这个距离也称为点与直线的误差，高尔顿用两者差的平方来表示
：
中所有点与该直线的误差加起来，再进行算术平均就是该直线在数据集
上的经验误差：
表示该数据集的大小。
中挑选离
最近的
作为
：
具体到线性回归中，其经验误差函数为：
根据经验误差最小原则，只需要求出使得该经验误差函数取得最小值的
和
：
实际上就得到了离
最近的
，本节就来介绍如何求解
和
。
3.1 凸函数
首先，将手上的数据集
：
代入线性回归的经验误差函数后可得：
可见
是关于
和
的函数，并且是 凸函数（Convex Function）。凸函数意味着画出来看上去像山谷：
3.2 凸函数的最小值
就如山谷肯定有最低点一样，凸函数肯定有最小值，这说明最小值是一定存在的。并且凸函数更重要的性质是，使得经验误差函数
取得最小值的
和
，可以通过求解下面方程组得到：
因为线性回归的经验误差函数
是平方之和，所以本节介绍的求解该经验误差函数的最小值的方法被称为 最小平方法 ，国内各种教材中也常称为 最小二乘法 。
和
：
from sympy import symbols, diff, solveimport numpy as np
# 数据集 DX = np.array([1.51, 1.64, 1.6, 1.73, 1.82, 1.87])y = np.array([1.63, 1.7, 1.71, 1.72, 1.76, 1.86])
# 构造经验误差函数w, b = symbols('w b', real=True)RDh = 0for (xi, yi) in zip(X, y): RDh += (yi - (xi*w + b))**2RDh *= 1/len(X)
# 对 w 和 b 求偏导eRDhw = diff(RDh, w)eRDhb = diff(RDh, b)
# 求解方程组ans = solve((eRDhw, eRDhb), (w, b))print('使得经验误差函数 RD(h) 取最小值的参数为：{}'.format(ans))上面代码运行后，可以解出
以及
，得到的结果和高尔顿几乎一样：
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