初中数学:十问综合压轴题(第10问解析)
老师用文档编辑了一下题目,做成了一个PDF文档,彩图版,多问配图,需要的同学可以在对话界面发送“十问压轴题”获取链接,已排版,可以打印出来;
每次推送一个小问的解题方法,觉得有用的同学可以收集在自己的习题集中。
如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax²+c与y轴的交点为A,直线l:y=kx+2c与y轴交于点P,且与二次函数交于B、C两点,过点B、C分别向x轴作垂线,垂足分别为D、E,且BP=BD,点M为BC下方抛物线上一动点,
(1)求证:ac的值为定值;
(2)探究:BD·CE与DE²是否存在某种数量关系?若存在,请求出该数量关系;若不存在,请说明理由;
(3)将二次函数y=ax²+c经过平移后,得到的新二次函数对称轴为x=2,顶点为点E,且经过点A,当四边形OECP为正方形时(如图2),求出图中阴影部分的面积;
(4)当k=2、c=1时,求△MBC面积的最大值,并直接写出此时点M的坐标;
(5)在(4)条件下,过点M作y轴的平行线,交BC于点N,求线段MN的最大值;
(6)在(4)条件下,假设点Q为x轴上一动点,是否存在这样的点Q,使△QBC为直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(7)当c=2时,若PC=2BP,且过点C作CF⊥BC,交x轴于点F,求点F的坐标;
(8)在(7)条件下,若点G为y轴上一点,当△GBC为等腰三角形时,请直接写出符合条件的点G的坐标;
(9)若在(7)条件下,坐标系内的⊙H与BD、BC、CE均相切,求出圆心H的坐标;
(10)证明:△HBC为直角三角形恒成立;
图1
图2
图为老师在写字板上所画,由于只能全局擦除,所以有些地方很不标准没有办法更改,图2为随手又画了一个草图,两个图都可以看清楚,有强迫症的同学可以自己画一个。后面的图形老师就没有再画了,想要解题的同学就自己添上几笔吧。
提示:
(1)是到顶点的距离和到定直线的距离相等的证明,所以同学们可以慢慢想;
(2)可以利用勾股定理去证明,方法相对会比较简单,但不容易想到;
(3)不规则的阴影面积要利用割补转换的方法去思考;
(4)典型的三角形面积最大值问题;
(5)典型的截线段长度最大值问题;
(6)直角三角形存在性的情况讨论,算是压轴题中比较复杂的一种;
(7)这一问就要动点脑筋,可能很多同学想不出来方法,没事,多想想;
(8)等腰三角形存在性的情况讨论,不过点在轴上,情况比较多,算是稍微复杂点吧;
(9)这一问是老师突然想到的,放在这里比较有趣,利用九年级现有知识绝对没问题;
(10)送分题;
解析:
(10)
为什么说这一问是送分题呢?
利用平行线的知识和角平分线的定义即可解题;
BD//CE,而BH和CH是同旁内角的角平分线
那么∠HBC+∠HCB=90°,
所以······
到此十问压轴题就结束了,近期就没有这种类型的题目了,目前学校基本都进入了圆的学习,而且物理和化学也正式进入了有意思的阶段,所以接下来物理和化学题目也会继续推送。
至于二次函数的题目,到下学期进入复习阶段时,可能会给同学们提供一道更全面的二次函数题目,尽量涵盖从定义到综合类型压轴的方方面面。