有关三角形相似的一道竞赛题型

如图，已知△ABC中，D为BC中点，E、F为边AB三等分点，AD分别交CE、CF于点M、N，求AM：MN：ND；

求线段比例，那么同学们学过的方法中，要么用倍长关系，要么就是相似比例，而这道题中除了一个中点和三等分点外，没有特殊角，也没有线段长度，而且给了一个中点，那么就要能够想到去利用中位线构造三角形相似。

如图，过点D作DG//AB交AC于G，并且交CE、CF分别于点P、Q，

接下来就可以得到DG与AB的关系，进而得到DG与AE、AF的关系，

并且，由GP和AE的关系可得DP与AE的关系，

以及△MDP∽△MAE，可得AM与DM的关系，进而得到AM与AD的关系

同样的方法，

GQ和AF的关系可得，进而得到DQ与AF的关系，

那么利用△NDQ∽△NAF，可得AN与DN的关系，进而得到DN与AD的关系，

结合上面的过程，可得MN与AD的关系，

最终三者均兑换为AD的倍长形式，相比即可；

过程比较啰嗦，有兴趣的同学自己计算一下吧。

当然方法不止这一种，辅助线还有其他类型，再提供一种。

作FP//AD、EQ//AD分别交BC于P、Q，

如此可以得到P、Q为BD的三等分点，

进而获取CD与CP的关系，得到ND与FP的关系，同时有FP与AD的关系，

进而将DN转换为AD表示，

同样的方法MD也可以转换为AD表示，

随之可得AM、MN与AD的关系，三者比例可得；

但是这道题如果是一道填空题怎么办？总不能这么复杂吧？

下面这个方法可能稍微简便些，但却不一定是那么容易想到。

如图，过A作AG//BC并于CE延长线交于点G，

过C作CP//AB并与AD延长线交于点P，

在DP上截取DQ=DN，

根据相似可得AG为BC的一半，进而可得AM=MD，

同时可证AD=DP，PQ=AN，

且AN：NP=AF：CP=2:3，

假设AN=4x，则NP=6x，那么NQ=2x，

所以ND=x，AD=5x，

AM=2.5x，MN=1.5x，

那么AM：MN：DN=5:3:2；

OK，喜欢哪种方法就掌握哪一种。