八上第19讲 《函数、一次函数》必考知识点(上)
写在前面
函数，是初中数学的重要内容，而一次函数又是基础，很多同学在学习函数时，会遇到很多困难，从本讲开始，计划分3－4讲，帮助同学们解决一些典型问题．
一、知识概念
1、常量与变量
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫常量．
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫变量．
2、自变量与因变量，函数
一般地，设在一个变化的过程中，有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数，其中，x是自变量，y是因变量．
3、函数的三种表示方法
(1)列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系．
(2)图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律．
(3)解析法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系．
4、一次函数和正比例函数
一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数，y是x的一次函数，
当b＝0，即y＝kx(k为常数且k≠0)时，称y是x的正比例函数．
正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数．
5、待定系数法求一次函数关系式过程
(1)设函数表达式y＝kx＋b；
(2)根据已知条件列出关于k，b的方程(组)；
(3)解方程(组)；
(4)把求出的k，b值代回到表达式中．
二、典型例题
1、函数相关概念
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例1： 下列变量之间的关系，其中是函数关系的有_______． ①正方形的面积与它的周长； ②圆的周长和半径； ③多边形的内角和与边数； ④周长为20的长方形的长与宽； ⑤长方形的宽一定，它的面积和长； ⑥等腰三角形的周长和底边； ⑦三角形的面积和底边上的高． 分析： 要说明函数关系，重点要满足两个条件： (1)只涉及两个变量， (2)对于一个自变量，只有唯一一个因变量与之对应． 两个条件缺一不可． 解答：  |
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例2： 下列变量之间的关系，其中是函数关系的有_______． 分析： 要说明函数关系，重点要满足两个条件： (1)只涉及两个变量， (2)对于一个自变量，只有唯一一个因变量与之对应． 两个条件缺一不可． 解答： ①满足两个条件，是函数关系． ②满足两个条件，是函数关系． ③对于一个自变量x＝4，y＝±2， 不是唯一对应，不是函数关系． ④满足两个条件，是函数关系． ⑤对于一个自变量x＝4，y＝±4， 不是唯一对应，不是函数关系． ⑥满足两个条件，是函数关系． ⑦对于一个自变量x＝1，y＝±2， 不是唯一对应，不是函数关系． 综上，①②④⑥． |
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例3： 下列四个图象中，不能表示某一函数的图象 的是_________． 分析： 对于通过图像来表示函数关系，同样要满足两个条件，一般而言，两个变量的条件都满足，但有些自变量x，对应的y的值不止一个． 不难发现，本题中图④的函数图像，对于x轴正半轴上取一个x，其对应的y的值有2个，因此，不是函数关系． 解答： ④． |
2、函数表示及自变量取值范围
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例1： 分析： 这类问题，与二元一次方程中，用x的代数式表示y的做法一致，等号左边为y，右边是含x的代数式． 解答： |
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例2： 分析： 对于函数关系式中自变量的取值范围，一般要注意以下方面： (1)整式中的自变量取任意实数； (2)分式中的分母不能为零； (3)二次根式中的被开方式大于或等于零． 解答： |
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例3： 等腰三角形的周长为10，底边长y与腰x的函数关系式是y＝10－2x，则自变量x的取值范围是________． 分析： 对于实际问题，考虑自变量的取值范围，还要使得问题有意义，这道题要注意，底边长为正，腰长为正，两条腰长之和大于底边长． 解答： |
3、一次函数的概念及判定
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例1： 分析： 根据一次函数的定义，形如y＝kx＋b的是一次函数，y＝kx是正比例函数． 解答： |
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例2： 下列问题中的两个变量之间具有函数关系： ①面积一定的长方形的长s与宽a； ②圆的周长s与半径a； ③正方形的面积s与边长a； ④速度一定时行驶的路程s与行驶时间a． 其中s是a的正比例函数的有________． 分析： 根据正比例函数的定义，和题目中的自变量为a，因变量是s，则s＝ka时，s是a的正比例函数． 解答： |
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例3： 分析： 一次函数y＝kx＋b的条件： ①k≠0；②x的最高次数为1；③b为任意实数． 正比例函数y＝kx的条件： ①k≠0；②x的最高次数为1；③b为0． 解答： |
4、待定系数法运用
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例1： 若y与x－1成正比例，且x＝2时，y＝6， 则x＝－2时，y＝___． 分析： 我们可以设y＝k(x－1)，把x＝－2，y＝6代入，也可直接把(－2，6)代入，求得k的值，得函数的关系式，再把x＝－2代入，求得y的值． 解答： 设y＝k(x－1)，把(－2，6)代入得， (2－1)k＝6，k＝6． 则函数关系式为y＝6(x－1)， 把x＝－2代入得，y＝－18． |
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例2： 分析： 解答： |