浅析代数方程含参讨论“只有一个实数根

分式方程、无理方程含参讨论问题是学生在八下学习过程中可以拓展的难点,比如方程“只有一个实根”,在不同的题境下含义有所不同,变化多端,在此笔者收集了一些典型的问题,通过梳理,希望能找到一些有益的思考策略。

例1

分析

将分式方程化为整式方程后,化简得:

2x^2-2x+4+m=0.

原分式方程只有一个实根,有两种可能:

① △=0,化为的一元二次方程有两个相等的实数根,原分式方程只有一个实根(注:“重根”仅出现在一元整式方程对于根的情况的表述中)

② △>0,化为的一元二次方程有两个不相等的实数根,但对于原分式方程而言,其中一个根是增根.

解答

反思

考虑全面了吗?

有家长提出“△=0”时,还需要进一步检验:此时的实数根是否为增根,并编制了一道,“△=0”时求出的根就是增根的实例。(作为老师,多希望提出质疑的不是家长而是学生本人啊~)

例2

解答

这一定是一元二次方程吗?

不一定!当a=±1时,就是一元一次方程,一元一次方程只有一个实数根.

当a≠±1时,是一元二次方程,若方程只有一个实数根,一般还要考虑两种情况:

① 当△=0时,化为的一元二次方程有两个等根,对于原分式方程该根不是增根,则原分式方程只有一个根;

② 当△>0时,化为的一元二次方程有两个不等根,对于原分式方程有且只有一个是增根,则原分式方程只有一个根.

那此时潜在的增根是谁呢?那就要聊聊“增根”是如何产生的?

根据《沪教版八下》教材,关于增根产生0的原因分别在“分式方程”和“无理方程”两节有所叙述.

教材中的解释的关键在于,分式方程化整式方程、无理方程化有理方程过程中未知数的允许取值范围扩大了,那些属于转化后方程的根且不在原方程取值范围内,就称之为“增根”.

x=1是增根?不对,换元后是关于y的方程,应该考虑y的取值范围,那y的取值范围是什么呢?

所以y=1就是那个潜在的增根!

例3

解法一

当心:-2x-m=(47/8)-(40/8)<0

经检验,x=-47/16对原无理方程而言是增根,m=(49/8)不符条件,舍.

要加强检验意识,有可能“化为整式方程的唯一的根是增根”,此时原方程无解!

为了确定可能的增根,则须先确定x的取值范围.(在课堂上,梁莫言同学提出)

如果是方程x+3=(2x+m)^2的解,则x+3≥0,也就是说只需考虑"2x+m"的正负,即若原方程有两个解x1、x2,若x1是增根、x2是原方程的根,则

解法二

反思

分式方程可能的增根是使最简公分母为零的有限个数,但无理方程根允许的取值范围常常是区间,怎么能确定两个根一个在允许的取值范围内,一个不在允许的取值范围内呢?

解法二提供了一种更简洁的解决策略:“换元法”.令y=√(x+3),则y的取值范围是:y≥0,若求出的y为负,则它为增根,所以其精髓在于以“0”为界!

一增一实根→一负一非负→两数积非正!

课堂板书

练习

解答

再继续往后推进之前,应先确定x的取值范围!

观察一元二次方程的系数,利用根与系数关系,确定方程根的特征!

考虑到两根和为正,两根积为正,则方程两根皆为正.

因为两根积是9/4(已经排除重根可能),则两个不等根必然一个大于3/2(是原方程的根),一个小于3/2(是原方程的增根)符合题目要求。

但是!有一个bug,x=2.

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