【暑假特辑】反比例函数背景下图形面积计算的多法探究

01

写在前面

在讲授反比例函数一章的知识点时，一些涉及图形的面积计算是反复提及的重点，这类问题通常十分灵活，解决的方法也绝非一种．为此，笔者从最常见的双曲线一支上任意两点与原点围成的三角形面积计算为例，对这类问题进行深入多法探究．

例1： 分析： 首先，我们可以把点B的坐标代入反比例函数表达式，从而求出其纵坐标，再计算△AOB的面积．通常，使用最多的方法是“补”，如过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，补成矩形，计算出面积后，减去△AOB周围的小三角形面积． 也可过点A和点B作x轴垂线，利用k的几何意义，转化为梯形面积． 解答：

例1： 分析： 还有其他方法吗？当然有！ 在“补”的方法中，我们完全可以先求出直线AB的函数关系式，从而求出其与x轴交点N、与y轴交点M的坐标，利用△BOM和△AOM的面积差，或者△AON和△BON的面积差求解． 除了“补”的方法，还可以用“割”的方法， 如过点A作AF⊥x轴交BO于H，则将△AOB分割成△AOH和△ABH，求两个三角形的面积和． 或过点B作BK⊥y轴交AO于Q，则将△AOB分割成△ABQ和△OBQ，求两个三角形的面积和． 解答：

总结回顾：

不难发现，铅锤法虽看似有6种之多，但本质上用2种情况即可概括：

（1）选取三角形任意两顶点的横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个顶点作铅垂线，与之前两顶点连线所在直线交于一点，第三个顶点与这个交点的纵坐标之差的绝对值作为铅锤高．

（2）选取三角形任意两顶点的纵坐标之差的绝对值作为铅锤高，过第三个顶点作水平线，与之前两顶点连线所在直线交于一点，第三个顶点与这个交点的横坐标之差的绝对值作为水平宽．

面积公式即为1/2·水平宽·铅锤高，问题迎刃而解．

例2： 已知A(2，4)、B(4，2)，以AB为一边在第一象限内作平行四边形ABCD，若点C的横坐标是8，且平行四边形ABCD为10，求点D的坐标． 分析： 本题是本学期末的市统卷倒数第2题，在《【八下期末】2020期末统考卷解析》中，已经给出了4种解法，这里，我们再根据铅锤法，尝试第5种解法． 铅锤法同样可以计算平行四边形的面积，我们以AB的纵坐标之差为铅垂高，根据面积，求出水平宽，从而可以求得点B向右平移“水平宽”距离后的点的坐标，根据平行四边形对边平行，求出CD所在直线解析式，求出点C坐标，用平移的方法或中点公式求出点D坐标． 解答：