从旋转和轴对称两个方向突破线段和最值问题

从旋转和轴对称两个方向突破线段和最值问题

几条线段和的最值问题，一直作为武汉地区数学题的特色，思维有难度，是选择题或填空题的压轴戏。而解决此类问题的基础，不外乎两条定理：两点之间线段最短，垂线段最短。那么无论哪种方法，最终都要将线段和转换成一条线段或一条垂线段。正好在某道填空题中，这两种方法都能成功解决，所采用的转换方法则是旋转变换和轴对称变换。

题目

如图，△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，P是底边上的高AH上一点，若AP+BP+CP的最小值为2√2，则BC=________

解析：

此题不走寻常路，告诉了线段和的最小值，反过来求其中一条边长。但无论路是否寻常，若找不到使线段和最小的点P位置，那都是死路。

(1)旋转法

使此法，通常选择的旋转角是60°，好处是构造出等边三角形，我们将△APC绕点A逆时针旋转60°，如下图：

△APP'是等边三角形，于是我们完成了如下转换，AP=PP'，PC=P'C'，原三条线段BP+CP+AP=BP+PP'+P'C'，即图中红色加粗线条，它们何时和最小？利用两点之间线段最短，可知最短时，正好处于线段BC'上，即线段BC'的长度为2√2.

接下来，观察△ABC'，它是一个等腰直角三角形，∠BAP=∠P'AC'=15°，加中间60°，正好90°，于是得到AB=2，然后我们可以在△ABC中利用∠BAC=30°来求底边BC了，作腰上的高，如下图：

旋转容易，最后求BC时，二次根式的化简是真要人命，卡在这一步的大有人在，毕竟这种二次根式的复杂程度已经超过教材要求。

有没有计算上稍简单的方法呢？我们换个方向来思考。

(2)轴对称法

由于点P在AH上，因此我们将AH沿某条腰对称，得到下图：

AH关于AC的对称线为AE，过点P作PD⊥AE于点D，下面开始转换，在Rt△ADP中，∠PAD=2∠PAC=30°，因此AP=2DP，而BP=CP，于是BP+CP=2BP，即DP+BP始终为AP+BP+CP的一半，DP+BP何时最小？观察图中红色加粗线段，利用垂线段最短，可知它们位于线段BE上时最短，此时DP+BP=√2=BE，而△ABE是一个等腰直角三角形，于是同样可求得AB=2.

我们可简单计算一下∠FBC的度数，发现它正好也等于30°，于是在Rt△BFH中，我们设FH为x，BH为√3x，在Rt△ABH中利用勾股定理列方程可得结果，如下图：

解题反思：

每次遇到这样的思维障碍，突破无果之后，需要记下失败原因，当老师进行点评讲解的时候，要重点听是如何突破的，自己在当时缺少了哪个环节的思考，只有这样循序渐进，才能不断提升自己的数学解题能力。