2021年捷克斯洛伐克数学奥林匹克

直角⊿ABC中，∠A为直角，I为其内心，点M、N分别为AB、IB的中点.求证：CI与⊿BMN的外接圆相切.

证明:如下图所示.设CI交⊿ABC外接圆于点K，连MN、KM、KB、AK、AI.由鸡爪定理有KA=KI=KB,又N为IB中点，所以⊿BKN≌⊿IKN,于是KN⊥IB.

另一方面，∠BKI=∠BKC=∠BAC=90º，于是∠BKN=45º.

显然MN//AI,所以∠BMN=∠BAI=45º.于是B、K、M、N四点共圆.

而上面已经证明KN⊥IB.所以BK为⊿BMN外接圆直径,结合∠BKC=90º知CK为⊿BMN外接圆的切线,故CI与⊿BMN的外接圆相切.

命题得证！

另证：设⊿BMN的外接圆与⊿ABC外接圆于点K，则∠AKC=∠ABC=∠2∠ABI,

∠BKI=∠BKC=∠BAC=2∠BMN=2∠BAI,所以点K为⊿ABN的外心。于是KA=KB=KI,由鸡爪定理逆定理，C、I、K三点共线，又∠BKC=90º，所以CK⊥BK.

另一方面∠KBN=(∠KBA+∠ABN=(1/2)(∠B+∠C)=45º,所以∠BNK=180º-∠KBN-∠BKN=90º,即BK为⊿BMN外接圆直径，所以CK与⊿BMN的外接圆相切.

进而CI与⊿BMN的外接圆相切.