中考数学必考题型：将军饮马模型与最值问题，你真的掌握了吗？

看这个标题，是否有种被欺骗的感觉？

将军饮马问题，这个再正常不过的初中经典模型，怎么可能没听过呢？而且作为一个中考的热点题型，基本上年年考。可是，无论基础的还是难度偏大的，每年都有一大批考生丢分。

为何？无非就是对于这种题型的来龙去脉含糊其辞，而相关的数学底层逻辑又没有理解透彻，最重要的一点就是解决这一种类型题的通用方法没有融会贯通！

首先，我们先来了解一下什么叫做将军饮马！

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

如下图（左），将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

将此类问题抽象为数学问题：即在河的一侧找一点P，使AP+BP的值最小！如上图（右）。

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果。

而几何的最小值问题，我们在初一阶段就已经学过：（1)两点之间，线段最短；(2)点到直线的连线中，垂线段最短。

因此，想要解决这一类型的问题，转化思想这以数学思想方法不可避免，即将多段折线转化为一条线段！

其次，怎么解决这一类型的题目？

对于将军饮马问题，如下图左，作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB

当A’、P、B三点共线的时候，如上右图PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）。

一句话总结：动点P在哪一条线上，那条线就是对称轴。然后做其中一个定点A关于对称轴的对称点A’，连接A’B，与对称轴的交点即为所求的P点。

而关于将军饮马问题的题型，又分为：①两定一动模型（点到点）；②两定两动模型（点到点）；③一定两动模型（点到线）。

题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题

这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。

【模型分析】

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

【例题讲解】

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．

【详解】解：如图：连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，

PB+PE＝PD+PE＝DE为其最小值，

∵四边形ABCD为正方形，且BE＝2，AB＝8，

∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，

在Rt△ADE中，根据勾股定理，得DE＝10．

∴PB+PE的最小值为10．

故答案为10．

【巩固练习】

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

专题小结：本文所涉及到的将军饮马模型与最值问题，题目相对较简单！而这简单的模型，也正是整个将军饮马问题的基础。相信，基础巩固好之后，再挑 难度更大的题目会更加地得心应手！