2021年马其顿IMO国家队选拔平面几何题

题2.锐角⊿ABC中,AB<AC,设A’为点A关于BC的对称点. ⊿A’BC的外接圆与射线AB、AC分别交于点D、E，已知B在AD之间，E在AC之间.取线段BC、CD、BE的中点S、P、Q.求证：直线BC与AA’的交点在⊿PSQ的外接圆上.

证明:用A、B、C表示⊿ABC 的对应角，BC=a, AC=b, AB=c.由已知条件易得∠A=∠BA’C=∠BDC=∠ADC=AEB,所以AE=2AB·cosA=2c·cosA, AD=2AC·cosA=2b·cosA, CE=AC-AE=b-2c·cosA,BD=AD-AB=2b·cosA -c.

SQ=(1/2)CE=(1/2)(b-2c·cosA), SP=(1/2)BD=(1/2)(2b·cosA -c).S

X=SB-BX=(1/2)a-c·cosB.

注意到∠QSX=∠ACB=C,∠PSX=∠ABC=B,由SQ//AC,SP//AB

知∠PSQ=180º-A.由三弦定理之逆，要使S、Q、X、P四点共圆，只需：SQ·sinB+SP·sinC=SX·sin(180º-A)= SX·sinA.

将上面计算的各量代入上式即只要：

(1/2)(b-2c·cosA)·sinB+(1/2)(2b·cosA -c)·sinC=((1/2)a-c·cosB)·sinA

注意到余弦定理及正弦定理，用a,b,c分别代替sinA,sinB,sinC,借助余弦公式用a,b,c表示cosA和cosB，可以知道等式是成立的.于是由三弦定理逆定理知S、Q、X、P四点共圆，命题得证！

题6.锐角⊿ABC垂心为H，AB<AC,高BH、CH分别与AC、AB交于点E、F，设M为BC中点，过A作BC的平行线与⊿CMF的外接圆交于点X、Y.其中X、B在AH同侧，Y、C在AH同侧.直线MX、MY与CF分别交于点U、V.求证:⊿MUV的外接圆与⊿EFH的外接圆相切.

证明：记⊿MUV的外接圆为ω，⊿EFH的外接圆为Γ，Γ与⊿CMF的外接圆的不同于F的交点为L.首先证明MF为Γ的切线和M、H、L三点共线.

由M为BC中点知MF=MC，所以∠MLF=∠MCF=∠BCF=∠BAH=∠FAH=∠FLH,所以M、H、L三点共线.∠MLF=∠MCF=∠MFC,所以MF为Γ的切线.易知⊿MVC∽⊿MCY,所以∠MVU=180º-∠MVC=180º-∠MCY=∠MXY,于是UVYX四点共圆.记AM交Γ为点T，于是MT·MA=

=

=MV·MY=MU·MX,所以ATUX四点共圆.于是∠UTM=∠AXM,注意到四边形XMCY为等腰梯形

∠UTM=∠AXM=∠AYC=∠AYM+∠MYC=∠VMC+∠VCM=∠UVM,所以点T也在⊿MVU的外接圆上.设Γ的圆心为P，⊿MVU的外心为K.∠MTK=∠MUT- 90º =∠TAX- 90º=∠PAT=∠PTA,于是P、T、K三点共线.而PT、TK分别为Γ和⊿MVU外接圆半径，故Γ和⊿MVU外接圆相切于点T，命题得证！

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