李克正：怎样学好数学？
法国数学家庞加莱曾经提出一个问题：既然数学的证据建立于所有正常心智都能接受的逻辑规则之上，那么，为什么有人不理解数学呢？这是如何发生的呢？这个问题无疑牵涉到数学教育，以及数学和人类认知的关系等问题：数学是自然界的客观规律，还是人类大脑纯粹的主观构造？我们要怎样才能学好数学？
前不久，首都师范大学特聘教授李克正在一场名为“如何学数学”的专题讲座上探讨了这一问题。本文根据讲座内容整理而成，希望对您会有所启发。
这个题目不好讲，因为每个人应该根据自己的情况找到最适合自己的学习方法，即使只是要给某一个同学提建议，也得先对这个同学有充分的了解。
但反过来看，常见很多人对于数学采取的不适当学习方法，倒是有很多共同之处。简言之，正确的道路各不相同，错误的道路却常雷同。我们就从这个角度开始讨论。
很多人以为数学教育属于教育学的范围，其实不对。数学教育有很多实质上的特殊性，在教育学的教科书中完全没有涉及。例如有教育家说学习知识的一般方法是“理解+记忆”，这对于学习数学就不适用。
很多中学招聘数学教师，宁可要数学专业出身但没学过教育学的，也不愿要教育学出身但数学基础薄弱的。不久前我看到美国一个数学教育领域的教授说，他的最差的学生都是教育学出身。
近来中国和美国的很多数学教育方面的专家在讨论教育学家对于数学教育的伤害，但这离开本报告的题目较远，所以我们仅仅提醒大家不要被某些“教育学家”误导。应该针对数学学习的特殊性来讨论。
那么，与其他学科相比，数学学习有些什么特殊性呢？
我们下面针对每个特点讲得具体些，能否讲完并不要紧，只希望同学们能看到一些要点。因此，如果有问题请随时提出。
首先问大家一个问题：
不要求大家马上回答，因为这个问题即使在成年人中，甚至在科学家中也一直有着激烈的争论，是个根本性的哲学问题。
彻底的唯物主义者认为，数学根本上来自自然界，因此学习数学要拥抱自然，特别是要避免脱离自然。一些数学家（如小平邦彦）采用“数觉”这个术语，即对于数学对象的物理直观。
然而一种非常普遍的观点是：数学是“理论科学”，只是动动脑子的事，“数学对很多人来说是枯燥的、深奥的、抽象的”（参看参考文献 [3]），甚至是乏味的、无用的、无聊的。更有些极端的看法，否认数学是科学，否认数学所研究的是自然规律，认为自然数纯粹是人脑子里的东西，或者是“存在于天上的纯粹理性”，或者纯粹是文字和符号的游戏，等等。抱着这样的态度学习数学，难免脱离实际，甚至完全没有“数觉”。
小学生做很多数学应用题，中学生却很少做甚至不做，其实中学生更应该做，这是回归自然的一个重要途径。什么样的习题是“自然”的呢？这不太容易说清楚，但“自然”的反义词是“人工”，那些在自然界中不存在的现象，人为编造的条件，牵强附会的假设，与数学无关的语言障碍或陷阱等都属于这一类。例如小学教科书上有个题目：
华罗庚先生当年做数学普及报告，经常举日常生活中应用数学的生动例子。如
蜂巢为什么最省材料？ 什么样的茶叶桶盖掉不下去？ 街口的红绿灯应该怎样设计？ 苏联导弹试验场的奇怪形状说明了什么？
这些报告都给了听众们非常深刻的印象，一个重要的原因就是其中有很多自然的例子。
还有一种常见的论调，说生活中只需要用到小学的数学，更深的数学没用。实际上现在大多数人学的数学都是很成熟的数学，只要学通了都很有用。为了让同学们自己有所体会，这里留一个小学水平的习题。
习题：
中学生在数学的应用方面应该比小学生有更高的要求，不仅要会做应用题，而且要能够将实际工作中的问题转化为数学问题并予以解决，就是说要培养数学建模的能力。
陈省身先生说过：“数学是一切科学的基础，数学的训练普遍的有用”。但对于数学有严重偏见的人（包括缺乏数觉的人）是不可能理解这两句话的。
数学揭示自然界的规律，而人本来就属于自然界，了解自然界的欲望是人类的本能，因此对数学的兴趣是可以自然地形成的。但是，如果学的或做的是不自然的数学，则无助于培养数学兴趣，甚至会伤害数学兴趣。
学习数学的最强动力是兴趣，比其他动力如功利、荣誉甚至强迫等的动力都要大。遗憾的是，我遇到过一些同学本来很喜欢数学，后来却由于不当的数学教育变得不喜欢甚至恨数学。
常州怀德苑小学的大多数同学都很喜欢数学，他们在校园里到处都会受到数学的熏陶（见下图）。他们上数学课也常是在玩中学。该校还写了一本书《玩数学》（参看参考文献 [9]），系统地说明了在这方面的理念、成绩和规划。
校园里的“数学”。
作为科学，数学产生于实验，在这一点上与物理、化学等都是一致的。离开自然界，数学根本不可能存在——不可能产生。最早的数学研究对象—— 自然数的客观存在，是一个物理事实，人类只是“发现”而不是“发明”了自然数。
小孩子扳着手指数数，就是一个数学实验（当然是很简陋的）。小时候玩的一些玩具中也有简单的数学实验。作为计算工具已经淘汰的算盘，也是一种数学实验设备，它的数学教育功能尚未完全过时。在初中数学教育中，原来也有必备的通用实验工具—— 圆规和直尺。
一个班的学生中一般总有几个学得不好的，很多人将此简单地归因于这些学生“笨”或者“懒”，还有归因于“智商”的（而且有些人将智商说成是先天因素）。另一方面，经常也总有几个学生学得很好，这也使一些人认为他们“聪明”“勤奋”或“智商高”，由此往往会得出一个错误的判断，就是在数学教学中不需要实验，没有实验他们不是也学得很好吗？其实不然。少数学生不需要某个实验，可能是因为他们以前做过有同样效果的实验，但其他学生仍是需要的。
近年来数学实验在数学教育中日益受到重视，只是实验手段还有待提高。例如，
为让学生理解全等的概念，现在最好的中学数学教师所采用的实验仍是用两张透明胶片滑移使图形重合，还没有比这更好的手段； 为了理解长方体，可以用叠纸盒的方法做实验，这实验用电脑应是可以虚拟化的（在电脑显示屏上看到），但至今还没有人做出相应的程序，而做这样一个程序，工程不小、成本也不低； 为了理解用平面切割圆锥得到圆锥曲线，一个简单而粗糙的实验是用手电筒照墙面，现在还没有比这更方便更精确的手段，等等。
现在很多小学建立了数学实验室，例如怀德苑小学（见下图）。
数学实验室
在更深的数学中，实验同样有助于学习。例如下面的实验是为了理解群论的（hexa1，2，6）。
一个中小学老师能把给定的数学教程教好，就是优秀教师了。至于数学教程中应该有哪些内容，这不是老师应该管的，而且一般是管不了的。
“教什么”的问题，在其他学科中一般不很尖锐，至少有一部分内容是近年来的新进展。例如生命科学，现在都要讲基因，而在六十年前完全没有，因为那时基因还没发现。
但数学却不然，一般人学的最新也是几百年前的数学，即使两千多年前欧几里德写的《几何原本》，现在也仍然可用。在数千年甚至更长的历史时期中，数学有丰富的积累，其中有很多是永远不会过时的。这么多的内容，任何人都不可能读完。那么一般人应该学哪些内容，就是一个非常不平凡的问题了。
数学的内容极为广阔，因此学习的内容（包括教科书）的选择极为重要。这就是需要高水平的数学家来为中学生写书的原因。数学大师傅种孙、吴文俊等都翻译过国外的中学优秀教科书。
现在经常听到的一个口号是“减负”，然而很多人觉得越减越重。其实看看统编教科书确实内容的量没减小，在减掉一些内容的同时又悄悄加入了另一些内容。遗憾的是，减掉的多为精华，增加的却全是垃圾。这也是统编教科书越来越令人觉得无聊的一个原因。当然，内容的选择只是一个方面，写作质量也很重要。现在常见统编教科书中出现数学错误，这当然要误人子弟的。
1960 年代，在华罗庚先生的倡导下，很多数学家为中学生写课外读物，出版了一套《数学小丛书》，有十余本。华罗庚先生身先士卒写了两本：第 1 号《从杨辉三角谈起》和第 3 号《从祖冲之的圆周率谈起》，后来又写了《从孙子的“神奇妙算”谈起》，此外还写了一些别的小册子，其中《数学归纳法》和《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》后来也收入《数学小丛书》中。这些书的质量都是非常高的，是真正的精品，即使在今天也仍是极好的中学生读物。遗憾的是现在读这些书的人很少，连中学教师都很少有读过的。
如果一个同学已经能够自己独立地学习数学，那么对于所读的书要有所选择，挑选自己觉得好的书。当然也可能选得不对，我自己就读过一本看上去很有意思的书，但读完后大失所望。我曾经对一个同学说：“你选读的那本书质量很差，不值得读。”那同学反问道：“我不读怎么知道它很差呢？”你们觉得这个同学的话有道理吗？我觉得很有道理，因为听别人的评价不能代替自己的评价，自己判断错， 吃了亏，得到教训，是成长的不可缺少的环节。
由此可以体会到当年华罗庚先生和其他数学家做竞赛命题这件事有多辛苦。越是大的数学竞赛越是需要数学家。反之，如果在举办数学竞赛时排斥数学家，就是从根本上造假。
很多人跟我谈“奥数”我都拒绝回应。什么是“奥数”？其本来的意思是国际数学奥林匹克竞赛（IMO），但现在很多人所说的“奥数”与 IMO 毫无关系，只是打着“奥数”的牌子开培训班和搞竞赛。其中有些讲究质量，但大多数只是将以往的数学竞赛题用作培训题或稍加改动用于竞赛。我就经常看到以往的华杯赛题被反复使用，甚至盗版。
我国自 1950 年代华罗庚先生倡导数学竞赛以来，数学竞赛在推动科学技术发展和人才培养等方面作出了不可磨灭的贡献。许多数学家参与数学竞赛，关注中学教育，这些对我国的发展是非常宝贵的。
在座的同学们有很多参加过数学竞赛。你们可以回顾一下，在竞赛中做过的一个题目对你是不是新鲜的？是不是自然的？是不是有趣的？做了是不是有长进？做了以后是不是又曾用到？
数学告诉我们科学的真理，它们深刻地揭露自然界的秘密，在这方面它与物理、化学、生命科学等是一样的。我们来看几个例子。
例 1. 勾股定理。直角三角形的两直角边长 a，b 与斜边长 c满足a2+b2=c2。
例 2. 圆的面积。直径为 r 的圆的面积为 πr2。
例 3. 加法定理。
例 4. 代数基本定理。任何非常数复系数多项式必有一个复零点。
例 5. “费尔马大定理”。设 n 为大于 2 的整数，则方程 xn+yn=zn 没有非平凡的整数解。
这些真理的表述都非常简单，使得人们很容易理解和应用。但是它们都不是简单的常识或直观上可以看到的事实。
常常很多人使用一个数学定理但不知道或不懂得它的证明，这没有危险，因为数学家保证了定理的可靠性。但能使用并不等于掌握。这可能有潜在的问题。
数学中的深刻定理都是经过很多人的长期艰苦探索才发现和证明的，而基础数学研究与理论物理类似，都属于理论研究的范围。
由此可见，数学是科学，所以学习数学应该用学习科学的方法，就是说要理解科学原理，直至完全懂得；而不是用例如学习技术或法规的方法。
数学的教育，绝不仅仅是一种知识的传播，而更是包含能力的培养和理念的建立。
就以识数而言，岂是认识 1, 2, 3, 4, 5, ... 那样简单。首先，需要通过上面所说的“拥抱自然”，物理地理解数字符号的意义，这种理解还要通过以后所做的应用题进一步深化。进而要了解数的简单性质，从而对于自然数数有更深入的理解，并且从中培养计算和应用等方面的能力。直到完成“我什么数都会数了”这一飞跃的时候，才算完成了识数的过程。
到这时候，一个人已经深刻地理解“数”是自然规律，对此已有坚定的信念，宇宙观已有悄然的改变，对于所遇到的问题会自觉地从“数”的角度考虑，而且明显地比不识数时更“聪明”了，这种“聪明”完全是后天的。
认识自然数的过程归根结底是孩子自己完成的。如果孩子没有兴趣，即没有认识自然数的欲望，无论如何灌输也不能使他识数。
因此，“理解+记忆”的模式，对于数学教育是不适用的。
遗憾的是，很多数学教育几乎就是用技术教育或法规教育的方法，甚至将数学当作教条。这样的教育尽管可以使一个孩子学完所有的教程，如记数规定、运算法则、多种应用题型等等，而且通过达标考试，却仍然没有使他“学懂”数学。
不时地会遇到一个家长兴奋地讲自己的孩子的数学才能：很小就能认识数字，4 岁就会做 1 万以内的加减法，背九九表，参加什么速算比赛获奖，等等。然而，这很可能伤害了甚至毁掉了孩子学好数学的前途。
难免有人会反问：为什么一定要“学懂”数学呢？只要“会做”就可以通过考试了，达标了，将来也就可以工作了。然而，现在人工智能发展得很快，不管多聪明的人，与人工智能比速算，做选择题，甚至做套路题，都将完全不是对手。有很多人由此断言人将被电脑淘汰。然而，懂得数学的人不会被淘汰，因为人工智能无论做得多快多好，仍是只会“做”而不“懂”数学。
怎样才叫“懂”数学呢？这里举一个例子。
我在中科院和首都师大经常主持研究生面试，参加面试的都是笔试达标的。我们从不问难题，一般是问你有什么学得好的（有自信的），我们就从其中问个简单问题看看考生是否学懂了。例如考生说群论学得好，就让他举个群的例子。这样的“送分”题却经常有人答不上来。
哪怕只是初步学懂，也不至于连一个简单的例子都举不出来呀。
同学们可以通过问自己这类简单的问题，来反思自己是否真的学懂了。
在现代社会中，一个人一生中接受数学教育的时间是相当长的。
实际上，幼儿一般在很小的时候就开始接受数学教育。按我国现行的义务教育法，每个少年至少要上完初中，而接受数学教育也就要直到上完初中；很多地区已开始普及高中教育；而对于很多方面工作的需要，即使高中数学达标都还不够，至少需要用到微积分。可以预料，我国公民一生中接受数学教育的平均时间，还会进一步增加。没有任何一个其他学科的教育时间有数学这样长。
虽然一个人需要学的数学这么多而且越来越难，但即使是一个小学生也可能有很好是数学素质，而中学生中有很多可以达到相当高的数学素质。一个人的数学素质的标志不是数学知识的多少，而是数学理念的高度。
小学阶段培养数学素质的一个要点是可靠性。在做数学题的过程中，要求越来越严格，这是培养科学严谨性的第一步。如果一个小学生在解题过程中的错误都能够自己发现和改正，就是解题非常可靠，在这一点上数学素质完全达标了。
中学阶段对于数学素质有更多的要求，包括代数运算能力、空间想象力、逻辑性等，更高的要求是独立探索解决问题的能力。
数学素质的提升主要是通过理念的提升来实现的。理念的提升，远比技巧的提高重要。在理念的提升过程中，概念越来越抽象。抽象概念常常是具体概念的推广或提升。在教学中一个常见的误区是，先讲抽象概念，再应用到具体情况，这样符合逻辑次序，但对于学习可能并不合适，因为人的认识过程是从特殊到一般，从低到高，经常是从具体到抽象，就是说抽象的概念需要通过大量具体的例子才能理解。
最后再指出一点：数学的教育特别需要“因材施教”，对于同一个问题，不同的人很可能需要大不相同的学习过程。例如很多数学习题是没有“标准答案”的，特别是证明题，在好的情况下甚至可能没有两个学生的答案完全相同，需要教师分别读懂和判断。就这一方面看，数学教育是很不容易也很辛苦的。
参考文献
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[2] 姜树生：可怕的幼儿数学教育（2011）
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[4] 姜树生：现行统编中学数学教科书有多烂（2016.11.）
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[6] 李克正：《数学的哲学意义》（首都师范大学讲义 2011-2013）
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[8] 莲溪：是谁夺走了美国人的数学能力？——美国百年数学战争演义
[9] 彭志祥等：《玩数学：小学数学课程整体转型的研究》
[10] 其故：得数学者得天下（返朴公众号 2019）
[11] 单墫：《数学竞赛史话》. 广西教育出版社（1990）
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1 华罗庚：从杨辉三角谈起
2 段学复：对称
3 华罗庚：从祖冲之的圆周率谈起
4 吴文俊：力学在集合中的一些应用
5 史济怀：平均
6 闵嗣鹤：格点和面积
7 姜伯驹：一笔画和邮递路线问题
8 龚昇：从刘徽割圆谈起
9 范会国：几种类型的极值问题
10 华罗庚：从孙子的“神奇妙算”谈起
11 蔡宗熹：等周问题
12 江泽涵：多面形的欧拉定理和闭曲面的拓扑分类
13 常庚哲、伍润生：复数与几何
14 柯召、孙琦：单位分数
15 华罗庚：数学归纳法
16 华罗庚：谈谈与蜂房结构有关的数学问题
17 虞言林、虞琪：祖冲之算π之谜
18 冯克勤：费马猜想
[13] 咸道：致家长
[14] 严士健主编：《面向 21 世纪的中国数学教育》. 江苏教育出版社（1994）
[15] 尹裕：寻回美好的中学时代. 数学通报 2006 年第 1 期
[16] 尹裕：数学启蒙教育之我见（2013）
[17] 张景中、王鹏远：《小学数学实验》
[18] 中国少年报社编：《华罗庚金杯少年数学邀请赛专辑》. 海燕出版社（1991）
李克正
代数几何学家，首都师范大学特聘教授。曾任中科院研究生院数学系主任，中科院数学委员会委员，中科院重要方向项目首席科学家，《 中学生数学》杂志主编，《小学生数学报》等报刊编委，北京市高考命题委员。