考前复习解直角三角形的实际应用，推荐2020年重庆这道中考题

2020年重庆中考数学（B卷）第9题特色讲评

考前复习解直角三角形的实际应用，这道题绝对是一道好题

原题

如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43º，悬崖BC的高为144．5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1∶2．4，则信号塔AB的高度约为( )

（参考数据：sin43º≈0．68，cos43º≈0．73，tan43º≈0．93）

A．23米 　　 B．24米 　　

C．24．5米 　　D．25米

评讲

先把条件的要点重复一遍．

依题意，图中所有的点都在一个平面内，而且这个平面与水平面垂直，特别要强调的是AC与DC是垂直的．

如答图，过点E作EF∥DC，交AC于点F，过E作EG⊥CD于点G．

分几步完成．

第一步，也是最关键的一步，在Rt△DEG中求EG和DG．

由坡比i＝1∶2．4，而坡比的意义是坡面的铅直高度与水平宽度的比（参见人教版教科书九下第77页练习第2题），可以得到EG∶DG＝1∶2．4＝5∶12．

（注：把坡比化为整数比是有好处的．）

在Rt△DEG中，设EG＝5k，则DG＝12k，依勾股定理DE＝13k．

由于三边“已知”，可以求得直角三角形中两个锐角的所有三角函数值．

∵DE＝78米，

∴EG＝DE·sin∠EDG＝30米，

DG＝DE·cos∠EDG＝72米．

(温馨提示：解直角三角形DEG的方法很多，建议“正规”一点，应用三角函数．)

第二步，由矩形的判定与性质，得

EF＝CG＝DG+CD＝150米，

CF＝EG＝30米．

第三步，在Rt△AEF中，

∵AE∶EF＝tan∠AEF＝tan43º＝0．93，

∴AF≈EF×0．93＝139．5米．

第四步，∵AC＝AF＋FC＝169．5米，

而BC＝144．5米，

∴AB＝AC－BC＝25米．

选D．

尽管与其他“实际应用”的题目一样，本题有点牵强附会，不合实际，我还是认为，作为解直角三角形的复习题，这道题是挺适合的，主要原因在于它的考点比较全面．

本题主要考点有：坡度（或坡比）的意义，添加辅助线把四边形转化为三角形，用和差法求线段的长，矩形的判定与性质，解直角三角形，方程及三角函数的运用等等．