《自然哲学的数学原理》的定义和公理化体系分析

在《重新认识《几何原本》——致那些年我们白学的几何》里,我详细的跟大家介绍了欧几里在《几何原本》里开创的这种公理化体系,以及这种体系给西方科学带来的巨大影响:《几何原本》最重要的不是证明了多少几何学的命题(实际上,《几何原本》里的几何学命题在欧几里得之前都已经有证明方法了),而是他重新梳理了这些命题,极富创造力的从这一大堆的命题中提取出了5个基本公设,然后从这5个基本公设一步一步逻辑严密的推导出了后面四百多个命题

在这样的操作之下,那些原本零零散散的几何命题就被有机的结合在了一起,只要那5个基本公设是牢靠的,那么后面的那么多命题也是绝对牢靠的,欧几里得建立的这种科学体系就叫公理化体系。公理化体系顾名思义,就是从几个最基本显而易见的公理出发,一步步最终推导出整个科学体系的一种方法。

两千多年来,《几何原本》一直是西方人学习几何的最主要教材,这本书在西方的流传度仅次于《圣经》。欧几里得开创的这种方法也影响了无数的科学家,爱因斯坦小时候被几何学这种“严密而确定的力量”迷得神魂颠倒,牛顿更是他的死忠脑残粉,所以我们的牛顿同学在写他的传世巨著《自然哲学的数学原理》的时候也基本按照《几何原本》的样式来,他建立的也是一个地地道道的公理化力学体系

《自然哲学的数学原理》(后面简称《原理》)最开始给出了几个定义,然后给出几条运动定律和推理规则,经过一系列的推理和演算,得到一些普适的结论就,再把这些结论运用到实际中去,再和实验数据和观测数据作对照。为了让大家对牛顿力学的这种公理化体系有个大致的了解,我们来看一看牛顿在《原理》中给出的定义、定律和规则。

《原理》的八大定义

《原理》一书的最开始就是8个定义,后面牛顿自己补充了4个很重要的定义。在看牛顿的定义之前,我们先来看看1971年10月在国际度量大会上确定的七个基本单位长度单位米(m),时间单位秒(s),质量单位千克(kg),热力学温度开尔文(K),电流单位安培(A),光强度单位坎德拉(cd),物质的量单位摩尔(mol)

这个基本的单位也可以看做是一个简单的公理化体系,他们定义了几个最基本的物理量,然后其他的物理量都通过这几个量来定义。比如我已经定义了长度单位米,那么面积和体积的单位就不需要再单独定义,而可以通过米来。但是,大家要了解,人们对物理世界认识程度是不停的在变化的,因此在不同阶段不同的基本定义也完全是可以不一样的

定义一:物质的量是物质的度量,可由其密度和体积共同求出(质量)

这就是我们今天说的质量。质量在现在是七大基本单位之一,属于最基本的单位。但是在牛顿那个时代还没有得到公认,也还没有国际公认的质量标准和统一单位。因为牛顿在观察中发现一切物体无论怎么变化,受什么样的力,它的密度和体积的乘积都是不变的,牛顿就用密度和体积来定义这个物体的量。

定义二:运动的量是运动的度量,可由速度和运动的量共同求出(动量)

这是动量的定义。在高中课本里,动量的就是物体的质量和速度的乘积,然后再给出了动量守恒定律。我自己的一大感受就是,动量的定义虽然简单,但是大家对这个物理量的理解却经常觉得很困扰,因为不知道如何建立一个跟它对应的物理直觉。而对应的动能和能量就好理解的多,这种“对外做功”的能力跟我们日常理解的能量差别也不大。

但是,大家如果看到牛顿在《原理》里对动量跟朴素的定义,或许要更好理解一些。在牛顿眼里,动量就是一个用来度量物体运动的量

如果把运动当作一个新的实体来考虑,在一个台球桌上,一个台球打中了其他的台球,这个台球不动了,其他的台球就开始动了。如果不考虑台球桌面的摩擦力和碰撞过程的能量损失,那么物体的运动这个量是不是看起来就是在不同的球之间传来传去?那么这个运动的总量是保持不变的。从这个角度去理解动量和动量守恒,或许会简单很多。

定义三:visinsita,或者物体固有的力,是一种起抵抗作用的力,它存在于每一个物体之中,大小与改物体相当,并使之保持现有的状态,或是静止,或是匀速直线运动(惯性力)

这个就是惯性的定义,只不过牛顿也给了它一个力(也就是惯性力)的名字。

定义四:外力是一种对物体的推动作用,使其改变静止的或者匀速直线运动的状态(外力)

这个外力,就是牛顿第二定律里的那个F。

定义五:向心力使物体受到指向一个中心点的吸引、或推斥或任何倾向于该点的作用(向心力)

定义六:以向心力的绝对度量量度向心力,它正比于中心导致向心力产生并通过周围空间传递的作用源的性能

定义七:以向心力的加速度度量量度向心力,它正比向心力在给定时间里所产生的速度部分。

定义八:以向心力的运动度量量度向心力,它正比于向心力在给定时间里产生的运动部分

定义五、六、七、八都是关于向心力的,以及向心力的度量、向心加速度的度量和向心运动量的度量。现在我们谈论的比较多的向心力和向心加速度,其实的概念则用的比较少了。不过总的来说,这些概念跟我们现在还是比较熟悉的,但是在当时,这都是些鲜为人知的术语。

但是,即便这些术语在当时鲜为人知,这些概念本身倒是明确的很,并不会引起很大的争议和讨论,而真正引起世人们的广泛讨论的是牛顿在这后面做的四条补充定义。而为什么这补充的四条定义会引起这么广泛的讨论呢,大家看看这四条定义的名字就能猜出一二了:绝对时间、相对时间、绝对空间、相对空间

绝对时间和绝对空间的定义

牛顿在定义完了前八个基本定义之后,在附注里写道:至此,我已经定义完了这些鲜为人知的术语,解释了它们的意义,以便在以后的讨论中理解它们。我没有定义时间、空间、处所和运动,因为它们是人所共知的。唯一需要说明的是,一般人除了通过可感知客体外无法想象这些量,并会由此产生误解。为了消除误解,可方便的把这些量分为绝对的和相对的,真实的和表象的以及数学的和普通的。

我在讲相对论的时候会经常说到时空,很多人以为时空只是时间+空间的一个缩写,但是其实不是这样。相对论里的时空是一个最基本的单元,这个最基本的单元有三个空间分量和一个时间分量,他们是一个不可分割的整体。因此,我在牛顿这里说绝对时间和绝对空间的时候,就特意著名并把它们直接分开。

在牛顿这里,时间是时间,空间是空间,两者没有关系,而且都是绝对的;在爱因斯坦那里,不再有单独的时间和空间,只有一个东西,就是时空。这一点要特别注意。

接下来牛顿就对绝对的时间、空间、处所、运动做了自己的定义,因为这部分内容牵扯牛顿力学的世界观,对后世的影响很大也很重要,所以这些东西我们下篇文章再来单独介绍。

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